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1、信阳高中2020届高二年级上学期期末考试理数 试题一、单选题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.三角形内，ab是cosA0,y0，且4x+1y=1，若x+ym2+m+3恒成立，则实数m的取值范围是_16.如图所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合于图中的点P, 正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,若要包装盒容积V(cm3)最大, 则EF长为 cm 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.ABC的三个内角A、B、C对应的
2、三条边长分别是a、b、c，且满足csinA=3acosC（1）求角C的大小；（2）若b=2，c=7，求a18.已知数列an满足，且 （1）求证：数列是等比数列，并求an的通项公式；（2）求数列的前n项和19.直三棱柱ABC-A1B1C1中，。（1）若，求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；（2）若二面角B1 - A1C1-D的大小为60，求实数的值.20在平面直角坐标系xOy中，已知F1，F2分别为椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）的左、右焦点，且椭圆经过点A(2，0)和点(1，3e)，其中e为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）过点A的直线l交椭圆于另一点B，点M在直线l上，且OM
3、=MA若MF1BF2，求直线l的斜率21.已知函数f(x)=lnx+12ax2-(a+1)x（其中a0）.（1）讨论f(x)的单调性；（2）若g(x)=-a+12x2+f(x)，设x1,x2(x1x2)是函数g(x)的两个极值点，若a32，且g(x1)-g(x2)k恒成立，求实数k的取值范围.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C：sin22acos (a0)，已知过点P(2，4)的直线l的参数方程为，直线l与曲线C分别交于M，N两点.(1)写出曲线C和直线l的普通
4、方程；(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值.23.设函数.（1）当时，解不等式；（2）当时，若，使得不等式成立，求实数m的取值范围.6高二上学期期末考试理数参考答案1.C2.D3.C4.B5.D6.D7.A8B9.B10.A11.C12.B13. 14.； 15.-3,2 16.2017.由正弦定理asinA=csinC得csinA=asinC，由已知得asinC=3acosC，tanC=3，因为0C，所以C=3由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得(7)2=a2+22-4acos3即a2-2a-3=0，解得a=3或a=-1，负值舍去，所以a=318.（）证明：由已
5、知得，所以数列是等比数列，2公比为2，首项为所以 4（）数列的前项和即记，则 5 （1） （2）（1）（2）得 6 8 9 11所以数列的前项和1319.解：分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系.则，（1）当时，为的中点，所以为的中点，所以，设平面的法向量为，又，所以直线与平面所成角的正弦值为.（2），设平面的法向量为，则，所以.又平面的一个法向量为，由题意得，所以，解得或（不合题意，舍去），所以实数的值为.【详解】（1）因为椭圆经过点A(2，0)和点(1，3e)，所以a=2，14+9c24b2=1，b2+c2=a2， 解得a=2，b=3，c=1， 所以椭圆的方程为x24+y23=1 （2
6、）由（1）可得F1(-1，0)，F2(1，0)，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x-2) 由方程组y=k(x-2)，x24+y23=1， 消去y，整理得4k2+3x2-16k2x+16k2-12=0，解得x=2或x=8-64k2+3，所以B点坐标为8k2-64k2+3，-12k4k2+3 由OM=OA知，点M在OA的中垂线x=1上，又M在直线l上，所以M点坐标为(1,-k) 所以F1M=(2，-k)，F2B=8k2-64k2+3-1，-12k4k2+3=4k2-94k2+3，-12k4k2+3若MF1BF2，则F1MF2B=8k2-184k2+3+12k24k2+3=20k2-18
7、4k2+3=0 解得k2=910，所以k=31010，即直线l的斜率3101020.（1）f(x)的定义域为(0,+)，f(x)=1x+ax-(a+1)=(x-1)(ax-1)x （i）若0a1.由f(x)0得0x1a；由f(x)0得1x1，则01a0得0x1；由f(x)0得1ax1f(x)在(0,1a)，(1,+)上单调递增，在(1a,1)上单调递减. （2）g(x)=lnx+12x2-(a+1)x，g(x)=1x+x-(a+1)=x2-(a+1)x+1x，由g(x)=0得x2-(a+1)x+1=0，x1+x2=a+1，x1x2=1，x2=1x1a32 x1+1x1520x11x1 解得0x
8、112 g(x1)-g(x2)=lnx1x2+12(x12-x22)-(a+1)(x1-x2)=2lnx1-12(x12-1x12) 设h(x)=2lnx-12(x2-1x2) (0x12)，则h(x)=2x-x-1x3=-(x2-1)2x30 h(x)在0,12上单调递减；当x1=12时，h(x)min=h(12)=158-2ln2 k158-2ln221.(1)由C：sin22acos ，得(sin )22acos ，所以曲线的普通方程为y22ax.由直线l的参数方程，消去参数t，得xy20. 5分(2)直线l的参数方程为 (t为参数)，代入y22ax, 得到t22 (4a)t8(4a)0，则有t1t22 (4a)，t1t28(4a).因为|MN|2|PM|PN|，所以(t1t2)2(t1t2)24t1t2t1t2. 解得a1. 10分22.（I）当时，原不等式等价于，即，所以解集为.（II）当时，.令由图象，易知时，取得最小值.由题意，知，所以实数的取值范围为
