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1、信阳高中2020届高二年级上学期期末考试理数 试题一、单选题:(本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.三角形内,ab是cosA0,y0,且4x+1y=1,若x+ym2+m+3恒成立,则实数m的取值范围是_16.如图所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合于图中的点P, 正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,若要包装盒容积V(cm3)最大, 则EF长为 cm 三、解答题(共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.ABC的三个内角A、B、C对应的
2、三条边长分别是a、b、c,且满足csinA=3acosC(1)求角C的大小;(2)若b=2,c=7,求a18.已知数列an满足,且 (1)求证:数列是等比数列,并求an的通项公式;(2)求数列的前n项和19.直三棱柱ABC-A1B1C1中,。(1)若,求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值;(2)若二面角B1 - A1C1-D的大小为60,求实数的值.20在平面直角坐标系xOy中,已知F1,F2分别为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,且椭圆经过点A(2,0)和点(1,3e),其中e为椭圆的离心率(1)求椭圆的方程;(2)过点A的直线l交椭圆于另一点B,点M在直线l上,且OM
3、=MA若MF1BF2,求直线l的斜率21.已知函数f(x)=lnx+12ax2-(a+1)x(其中a0).(1)讨论f(x)的单调性;(2)若g(x)=-a+12x2+f(x),设x1,x2(x1x2)是函数g(x)的两个极值点,若a32,且g(x1)-g(x2)k恒成立,求实数k的取值范围.(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。22.在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线C:sin22acos (a0),已知过点P(2,4)的直线l的参数方程为,直线l与曲线C分别交于M,N两点.(1)写出曲线C和直线l的普通
4、方程;(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.23.设函数.(1)当时,解不等式;(2)当时,若,使得不等式成立,求实数m的取值范围.6高二上学期期末考试理数参考答案1.C2.D3.C4.B5.D6.D7.A8B9.B10.A11.C12.B13. 14.; 15.-3,2 16.2017.由正弦定理asinA=csinC得csinA=asinC,由已知得asinC=3acosC,tanC=3,因为0C,所以C=3由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得(7)2=a2+22-4acos3即a2-2a-3=0,解得a=3或a=-1,负值舍去,所以a=318.()证明:由已
5、知得,所以数列是等比数列,2公比为2,首项为所以 4()数列的前项和即记,则 5 (1) (2)(1)(2)得 6 8 9 11所以数列的前项和1319.解:分别以,所在直线为,轴建立空间直角坐标系.则,(1)当时,为的中点,所以为的中点,所以,设平面的法向量为,又,所以直线与平面所成角的正弦值为.(2),设平面的法向量为,则,所以.又平面的一个法向量为,由题意得,所以,解得或(不合题意,舍去),所以实数的值为.【详解】(1)因为椭圆经过点A(2,0)和点(1,3e),所以a=2,14+9c24b2=1,b2+c2=a2, 解得a=2,b=3,c=1, 所以椭圆的方程为x24+y23=1 (2
6、)由(1)可得F1(-1,0),F2(1,0),设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x-2) 由方程组y=k(x-2),x24+y23=1, 消去y,整理得4k2+3x2-16k2x+16k2-12=0,解得x=2或x=8-64k2+3,所以B点坐标为8k2-64k2+3,-12k4k2+3 由OM=OA知,点M在OA的中垂线x=1上,又M在直线l上,所以M点坐标为(1,-k) 所以F1M=(2,-k),F2B=8k2-64k2+3-1,-12k4k2+3=4k2-94k2+3,-12k4k2+3若MF1BF2,则F1MF2B=8k2-184k2+3+12k24k2+3=20k2-18
7、4k2+3=0 解得k2=910,所以k=31010,即直线l的斜率3101020.(1)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=1x+ax-(a+1)=(x-1)(ax-1)x (i)若0a1.由f(x)0得0x1a;由f(x)0得1x1,则01a0得0x1;由f(x)0得1ax1f(x)在(0,1a),(1,+)上单调递增,在(1a,1)上单调递减. (2)g(x)=lnx+12x2-(a+1)x,g(x)=1x+x-(a+1)=x2-(a+1)x+1x,由g(x)=0得x2-(a+1)x+1=0,x1+x2=a+1,x1x2=1,x2=1x1a32 x1+1x1520x11x1 解得0x
8、112 g(x1)-g(x2)=lnx1x2+12(x12-x22)-(a+1)(x1-x2)=2lnx1-12(x12-1x12) 设h(x)=2lnx-12(x2-1x2) (0x12),则h(x)=2x-x-1x3=-(x2-1)2x30 h(x)在0,12上单调递减;当x1=12时,h(x)min=h(12)=158-2ln2 k158-2ln221.(1)由C:sin22acos ,得(sin )22acos ,所以曲线的普通方程为y22ax.由直线l的参数方程,消去参数t,得xy20. 5分(2)直线l的参数方程为 (t为参数),代入y22ax, 得到t22 (4a)t8(4a)0,则有t1t22 (4a),t1t28(4a).因为|MN|2|PM|PN|,所以(t1t2)2(t1t2)24t1t2t1t2. 解得a1. 10分22.(I)当时,原不等式等价于,即,所以解集为.(II)当时,.令由图象,易知时,取得最小值.由题意,知,所以实数的取值范围为