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1、 吉林省梅河口市第五中学高三下学期第二次模拟考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先化简集合A，求得后再求详解：由题意得， ，故选C点睛：进行集合间的运算时要注意运算的顺序，若条件中给出的集合需要化简时要先化简2. 若复数满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先求出复数，再求详解：由，得，故选A点睛：本题属容易题，解题的关键是正确理解共轭复数的概念3. 若向量，则（ ）A. B. C. 20 D. 25【答案】B
2、故选B.4. 右图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各圆的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取黑色部分（7环到9环）的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：分析：根据面积型的几何概型求解详解：由几何概型概率公式可得，所求概率为故选D 点睛：根据几何概型概率公式求概率时，关键是如何确定所有基本事件构成的平面区域的面积以及所求概率对应的事件构成的平面区域的面积，然后根据公式求解5. 若变量满足约束条件，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：画出可行域，将变形为，然后平移直线找到最优解后可求得z的最小值详解：画出不等式组表示的可行域（
3、如图阴影部分所示）由得平移直线，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z取得最小值由解得，故点故选B点睛：求目标函数的最值时，将函数转化为直线的斜截式的形式：，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值，解题时要分清z与截距间是正比还是反比的关系6. 在公差为2的等差数列中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根据等差数列中的基本量间的关系，借助于进行计算详解：由题意得故选B点睛：等差数列中关于项的计算问题，要注意的变化与运用，对于条件求值的问题，还要注意整体代换的运用 7. 某几何体的三视图如图所示，其中圆的半径为1，则该几何体的体积为（ ）A
4、. B. C. D. 【答案】A【解析】该几何体为一棱长为6的正方体掏掉一个棱长为2的小正方体，再放置进去一个半径为1的球，所以体积为 点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.8. 已知圆：与圆关于轴对称，为圆上的动点，当到直
5、线的距离最小时，的横坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】圆的方程为：，过M（3，-4）且与直线y=x+2垂直的直线方程为y=-x-1,代入，得 ，故当Q到直线y=x+2的距离最小时，Q的坐标为 9. 大衍数列，来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的
6、前100项而设计的，那么在两个“ ”中，可以先后填入（ ）A. 是偶数？B. 是奇数？C. 是偶数？D. 是奇数？【答案】D【解析】根据偶数项是序号平方再除以，奇数项是序号平方减再除以，可知第一个框应该是“奇数”，执行程序框图， 结束，所以第二个框应该填，故选D.10. 在侦破某一起案件时，警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中揪出真正的嫌疑人，现有四条明确的信息：（1）此案是两人共同作案；（2）若甲参与此案，则丙一定没参加；（3）若乙参与此案，则丁一定参与；（4）若丙没参与此案，则丁也一定没参与.据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是（ ）A. 甲、乙 B. 乙、丙 C. 丙、丁 D. 甲、丁【答
7、案】C【解析】分析：对四个选项逐一分析、排除可得答案详解：若甲、乙参与此案，则与信息（2），（3），（4）矛盾，故A不正确若乙、丙参与此案，则与信息（1），（3）矛盾，故B不正确若丙、丁参与此案，则信息全部符合，故C正确若甲、丁参与此案，则与信息（1），（4）矛盾，故D不正确故选C点睛：本题主要考查推理的应用，此类问题的解法主要是根据反证法的思想，对给出的每一选项要逐一分析，看是否与题意符合，然后通过排除得到答案11. 将函数的图象向左平移（）个单位长度后得到的图象，若在上单调递减，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题可知，又在上单调递减，所以，得：，故得的取值范
8、围为故选D12. 设双曲线：的左顶点与右焦点分别为，以线段为底边作一个等腰，且边上的高.若的垂心恰好在的一条渐近线上，且的离心率为，则下列判断正确的是（ ）A. 存在唯一的，且B. 存在两个不同的，且一个在区间内，另一个在区间内C. 存在唯一的，且D. 存在两个不同的，且一个在区间内，另一个在区间内【答案】A【解析】由题意可设，可得的垂心H，因为的垂心恰好在的一条渐近线上，所以，所以存在唯一的，且，当时无零点，选A.点睛：判断函数零点(方程的根)所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上(2)定理法：利用零点存在性定理进行判断(3)数形结合法：画
9、出相应的函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若是函数的一个极值点，则_.【答案】3【解析】.，得.经检验，符合题意.故答案为：3. 14. 设正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为_.【答案】4【解析】分析：由得到等比数列的公比，然后再根据基本不等式求解详解：设等比数列的公比为，当且仅当，即时等号成立的最小值为4点睛：利用基本不等式求最值时要注意不等式成立的条件，即“一正二定三相等”，且三个条件缺一不可，解题时要说明等号成立的条件15. 若的展开式中的系数为8
10、0，则_.【答案】【解析】分析：先求出二项式的通项，然后通过组合的方法得到展开式中的系数后求得的值详解：二项式展开式的通项为 ，故展开式中的系数为，由题意得，解得点睛：解决二项展开式中特定项的系数问题的关键是正确写出二项展开式的通项，然后通过取特殊值的方法求解，对于含两个二项式的展开式的问题一般采用组合的方法求解16. 在四面体中，平面，点为的重心，若四面体的外接球的表面积为，则_.【答案】2【解析】分析：结合题意先确定的外心O的位置，进而求得外接圆的半径然后根据四面体外接球的表面积求得外接球的半径，由此可求得，最后根据求解即可得到结论详解：设BC的中点为E点是的重心， 设的外心为O，由题意得
11、点O在AE上，令，则有，即，解得又平面，四面体的外接球的半径，由题意得，解得，点睛：本题求四面体外接球半径的方法具有一般性，其条件是在三棱锥中，平面，设外接圆的半径为，外接球半径为，则三、解答题 （本大题共6题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 在中，角的对边分别为，已知，.（1）求角的大小；（2）求的值.【答案】（1）；（2）又，于是得，然后根据余弦定理求得，于是可得结论详解：（1）， ，解得（舍去）又，.（2）由及正弦定理的，又，在中，由根据余弦定理得，.点睛：（1）在三角形中根据已知条件求未知的边或角时，要灵活选择正弦、余弦定理进行边角之间的转化，以达到求解的目的
12、（2）求角的大小时，在得到角的某一个三角函数值后，还要根据角的范围才能确定角的大小，这点容易被忽视，解题时要注意18. 如图，三棱锥的三条侧棱两两垂直，分别是棱的中点.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）由可得又由题意得平面，故有，于是平面，根据面面垂直的判定可得结论成立（2）由题意建立空间直角坐标系，根据条件求得平面的法向量，又平面的一个法向量为，然后根据及图形可得所求余弦值详解：(1)证明：因为，是棱的中点，所以又三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，所以平面，又平面，则因为，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）由于三棱锥的三条侧棱两两垂
13、直，故可以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，设平面的法向量为，则，即，令，得，由（1）知平面的一个法向量为，所以.由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.点睛：（1）证明空间中的位置关系时要严格按照相关定理的要求书写解题过程，特别是对于定理中的关键词，在解题过程中要得到体现（2）根据空间向量的运算得到两平面法向量夹角的余弦值后，还要根据图形判断出所求的二面角为锐角还是钝角，然后才能得到结论19. 自2013年10月习近平主席提出建设“一带一路”的合作倡议以来，我国积极建立与沿线国家的经济合作伙伴关系.某公司为了扩大生产规模，欲在海上丝绸之路经济带（南线）：泉州福州广州海口北
14、海（广西）河内吉隆坡雅加达科伦坡加尔各答内罗毕雅典威尼斯的13个城市中选择3个城市建设自己的工业厂房，根据这13个城市的需求量生产产品，并将其销往这13个城市.（1）求所选的3个城市中至少有1个在国内的概率；（2）已知每间工业厂房的月产量为10万件，若一间厂房正常生产，则每月可获得利润100万；若一间厂房闲置，则该厂房每月亏损50万.该公司为了确定建设工业厂房的数目，统计了近5年来这13个城市中该产品的月需求量数据，得如下频数分布表：若以每月需求量的频率代替每月需求量的概率，欲使该产品的每月总利润的数学期望达到最大，应建设工业厂房多少间？【答案】（1）；（2）当时，万元最大【解析】分析：（1）根据对立事件的概率及古典概型求解即可（2）设该产品每月的总利润为，分别求出时每月总利润的数学期望，根据其中期望最大的来决定建设厂房的数量详解：（1）记事件为
