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1、课时跟踪检测（二十五） 圆与圆的位置关系 直线与圆的方程的应用一、题组对点训练对点练一圆与圆的位置关系1圆O1：x2y24y30和圆O2：x2y216y0的位置关系是()A相离B相交C相切 D内含解析：选D因为r11,r28,|O1O2|6,则|O1O2|r2r1.所以两圆内含2若两圆x2y2m和x2y26x8y110有公共点,则实数m的取值范围是()A(,1) B(121,)C1,121 D(1,121)解析：选Cx2y26x8y110化成标准方程为(x3)2(y4)236.圆心距为d5,若两圆有公共点,则|6|56,1m121.3两圆x2y2r2,(x3)2(y1)2r2外切,则正实数r的
2、值是_解析：由题意得,2r,即r.答案：4已知圆C：x2y28x150,直线ykx2上至少存在一点P,使得以点P为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则实数k的最小值是_解析：将圆C的方程化为标准方程,得(x4)2y21,故圆心为C(4,0),半径r1.又直线ykx2上至少存在一点P,使得以点P为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,所以点C到直线ykx2的距离小于或等于2,即2,解得k0,所以实数k的最小值是.答案：5求与圆(x2)2(y1)24相切于点A(4,1)且半径为1的圆的方程解：设所求圆的圆心为P(a,b),则1.(1)若两圆外切,则有123, 联立,解得a5,b1,所以,所求圆的方程为
3、(x5)2(y1)21；(2)若两圆内切,则有|21|1, 联立,解得a3,b1,所以,所求圆的方程为(x3)2(y1)21.综上所述,所求圆的方程为(x5)2(y1)21或(x3)2(y1)21.对点练二直线与圆的方程的应用6一辆卡车宽1.6米,要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道,则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过()A1.4米 B3.5米C3.6米 D2米解析：选B建立如图所示的平面直角坐标系如图设蓬顶距地面高度为h,则A(0.8,h3.6)所在圆的方程为： x2(y3.6)23.62,把A(0.8,h3.6)代入得0.82h23.62.h43.5(米)7某公园有A、B两个景点
4、,位于一条小路(直道)的同侧,分别距小路 km和2 km,且A、B景点间相距2 km,今欲在该小路上设一观景点,使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果,则观景点应设在何处？解：所选观景点应使对两景点的视角最大由平面几何知识知,该点应是过A、B两点的圆与小路所在的直线相切时的切点以小路所在直线为x轴,B点在y轴正半轴上建立平面直角坐标系由题意,得A(,),B(0,2),设圆的方程为(xa)2(yb)2b2,由A、B两点在圆上,得或由实际意义知a0,b,圆的方程为x2(y)22,切点为(0,0),观景点应设在B景点在小路的投影处8为了适应市场需要,某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图),它的
5、附近有一条公路,从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A,接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D,修建一条由D通往公路BC的专用线DE,求DE的最短距离解：以O为坐标原点,过OB,OC的直线分别为x轴和y轴,建立平面直角坐标系,则圆O的方程为x2y21.因为点B(8,0),C(0,8),所以直线BC的方程为1,即xy8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆的切点处时,DE为最短距离所以DE长的最小值为1(41) km.二、综合过关训练1半径长为6的圆与x轴相切,且与圆x2(y3)21内
6、切,则此圆的方程为()A(x4)2(y6)26B(x4)2(y6)26C(x4)2(y6)236D(x4)2(y6)236解析：选D半径长为6的圆与x轴相切,设圆心坐标为(a,b),则b6(b6舍去)再由5,可以解得a4,故所求圆的方程为(x4)2(y6)236.2已知点M在圆C1：(x3)2(y1)24上,点N在圆C2：(x1)2(y2)24上,则|MN|的最大值是()A5 B7C9 D11解析：选C由题意知圆C1的圆心C1(3,1),半径长r12；圆C2的圆心C2(1,2),半径长r22.因为两圆的圆心距d5r1r24,所以两圆相离,从而|MN|的最大值为5229.故选C.3已知半径为1的
7、动圆与圆(x5)2(y7)216相切,则动圆圆心的轨迹方程是()A(x5)2(y7)225B(x5)2(y7)217或(x5)2(y7)215C(x5)2(y7)29D(x5)2(y7)225或(x5)2(y7)29解析：选D设动圆圆心为(x,y),若动圆与已知圆外切,则41,(x5)2(y7)225；若动圆与已知圆内切,则41,(x5)2(y7)29.4设两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|()A4 B4 C8 D8解析：选C两圆与两坐标轴都相切,且都经过点(4,1),两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等设两圆的圆心分别为(a,a),(b,b),则有
8、(4a)2(1a)2a2,(4b)2(1b)2b2,即a,b为方程(4x)2(1x)2x2的两个根,整理得x210x170,ab10,ab17.(ab)2(ab)24ab10041732,|C1C2|8.5若圆x2y24与圆x2y22ay60(a0)的公共弦长为2,则a_.解析：由已知两个圆的方程作差可以得到相应弦的直线方程为y,利用圆心(0,0)到直线的距离d1,解得a1.答案：16已知圆C1：x2y22mx4ym250和圆C2：x2y22x0.(1)当m1时,判断圆C1和圆C2的位置关系；(2)是否存在实数m,使得圆C1和圆C2内含？若存在,求出实数m的值；若不存在,请说明理由解：(1)当
9、m1时,圆C1的方程为(x1)2(y2)29,圆心为C1(1,2),半径长为r13,圆C2的方程为(x1)2y21,圆心为C2(1,0),半径长为r21,两圆的圆心距d 2,又r1r2314,r1r2312,所以r1r2dr1r2,所以圆C1和圆C2相交(2)不存在实数m,使得圆C1和圆C2内含理由如下：圆C1的方程可化为(xm)2(y2)29,圆心C1的坐标为(m,2),半径为3.假设存在实数m,使得圆C1和圆C2内含,则圆心距d31,即(m1)20,此不等式无解故不存在实数m,使得圆C1和圆C2内含7一艘轮船沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报,台风中心位于轮船正西70 km处,受影响的范围是半径为30 km的圆形区域,已知港口位于台风中心正北40 km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响？解：以台风中心为坐标原点,以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图),其中取10 km为单位长度,则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2y29,港口所对应的点的坐标为(0,4),轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0),则轮船航线所在直线l的方程为1,即4x7y280.圆心(0,0)到航线4x7y280的距离d,而半径r3,dr,直线与圆相离,即轮船不会受到台风的影响- 5 -
