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1、甘肃省兰州市城关区第一中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）第卷（选择题）一、选择题（本大题共12 小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确答案涂在答题卡上.）1.若是任意实数,则 （ ）A. 若,则B. 若,则C. 若 且,则D. 若且,则【答案】C【解析】【分析】A. 如果,显然不成立；B. ,命题错误；C.利用作差法比较即得大小；D.举反例判断得解.【详解】A.如果,显然不成立,所以该命题是假命题；B.如果,则,所以该命题假命题；C.因为,所以,因为,所以,所以,所以该命题是真命题；D.如果,则,所以该命题是假命题.故选
2、：C【点睛】本题主要考查不等式的基本性质的应用,考查实数大小的比较,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2.在等差数列中,如果,则数列前9项的和为( )A. 297B. 144C. 99D. 66【答案】C【解析】试题分析：,a4=13,a6=9,S9=99考点：等差数列性质及前n项和点评：本题考查了等差数列性质及前n项和,掌握相关公式及性质是解题的关键3.在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若acosA=bcosB,则ABC的形状为（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理由acosA=bcos
3、B,可得sinAcosA=sinBcosB,再利用二倍角的正弦即可判断ABC的形状【详解】在ABC中,acosA=bcosB,由正弦定理得：sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,2A=2B或2A+2B =,A=B或A+B=,ABC的形状为等腰三角形或直角三角形故选：C考点：三角形形状判断4.已知实数x,y满足约束条件,则的最大值为（ ）A. 24B. 20C. 16D. 12【答案】B【解析】【详解】画出可行域如图所示,为目标函数,可看成是直线的纵截距四倍,画直线,平移直线过点时有最大值20,故选B.考点：简单线性规划5.已知等差数列,则（ ）A B. C. D. 【答
4、案】C【解析】【分析】设等差数列的公差为,根据已知求出,再求得解.【详解】设等差数列的公差为,由题得.所以.故选：C【点睛】本题主要考查等差数列通项的基本量的计算,考查等差数列的通项的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6.在各项均为正数的等比数列中,若,则的值为（ ）A. 12B. 10C. 8D. 【答案】B【解析】因为所以,故选：B点睛：本题重点考查了等比数列的重要性质,当时,注意等式两边的项数,都是两项.7.设,则等于 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：数列是首项为2,公比为的等比数列,所以.考点：等比数列通项公式.8.在中,“”是“”的A. 充分不必要
5、条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】在三角形中,若,则,由正弦定理,得,若,则正弦定理,得,则,是的充要条件,故选C.【方法点睛】本题主要考查正弦定理及三角形性质、充分条件与必要条件,属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么,然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题,除借助集合思想化抽象为直观外,还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性,转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.9.若不等式的解集为,那么不等式的解集为 ()A. B. C. D. 【答案】D【解析
6、】【分析】根据题中所给的二次不等式的解集,结合三个二次的关系得到,由根与系数的关系求出的关系,再代入不等式,求解即可.【详解】因为不等式的解集为,所以和是方程的两根,且,所以,即,代入不等式整理得,因为,所以,所以,故选D【点睛】本题主要考查含参数的一元二次不等式的解法,已知一元二次不等式的解求参数,通常用到韦达定理来处理,难度不大.10.在中,角所对边长分别为,若,则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】,由余弦定理得,当且仅当时取“”,的最小值为,选C.11.正数满足,若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求
7、出（当且仅当时取等号）,问题转化为对任意实数恒成立,即可求出实数的取值范围【详解】由题意,正数,满足,（当且仅当时取等号）对任意实数恒成立,即对任意实数恒成立,的最大值为6,故选：【点睛】本题考查求实数的取值范围,考查基本不等式的运用,考查函数的最值,属于中档题12.若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长之比值为,则的范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设三个角分别为,由正弦定理可得,利用两角和差的正弦公式化为,利用单调性求出它的值域【详解】钝角三角形三内角、的度数成等差数列,则,可设三个角分别为,故又,令,且,则因为函数在,上是增函数,故选：【点睛
8、】本题考查正弦定理、两角和差的正弦公式,利用单调性求函数的值域,得到,是解题的关键和难点第卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案写在答题卡上.）13.在ABC中,若b = 1,c =,则a = 【答案】1【解析】【详解】由正弦定理可得,即,故,.再由可得,解得.故答案为 1.【此处有视频,请去附件查看】14.若正实数满足,则的最小值是 _【答案】18【解析】【详解】因为是正实数,由基本不等式得,设,则,即,所以,所以,所以的最小值是18.【此处有视频,请去附件查看】15.【变式探究】 ax22x10只有负实根的充要条件是_【答案】.【解析】【分析】关于x的方程a
9、x2+2x+1=0只有负实根,考虑一元一次方程和一元二次方程两种情况,分别讨论可得答案【详解】（1）当a=0时,方程是一个一次方程,恰有一个负实根,满足条件；（2）当a0,当关于x的方程ax2+2x+1=0有实根,0,解可得a1且a0；若a0,则关于x的方程ax2+2x+1=0有两个异号实根,不满足条件；若0a1,则关于x的方程ax2+2x+1=0有二个负实根,满足条件；综上可得,0a1；故答案为：0a1【点睛】本题考查学生对一元二次方程的根的分布与系数的关系,考查分类讨论的数学思想,属于中档题16.在圆x2y25x内,过点有n条弦的长度成等差数列,最短弦长为数列的首项a1,最长弦长为an,若
10、公差,那么n的取值集合为_.【答案】【解析】由已知2y2,圆心为,半径为,得a12224,an25,由ana1(n1)dn1,又d,所以4n7,则n的取值集合为4,5,6三、解答题（本大题共6小题,共70分）17.求和化简:【答案】.【解析】【分析】当时,；当时,；当且时,利用等比数列前项和公式求解即可【详解】当时,；当时,；当,时,综上,【点睛】本题考查等比数列前项和的求法,考查分类讨论的数学思想方法,是中档题在利用等比数列求和公式时,如果公比是参数,一定要讨论公比是否为1.18.设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b2=ac,cosB=(1)求的值；（2）设ac=2,求a+
11、c的值【答案】（1）；（2）a+c3【解析】【详解】（1）由,得,由b2ac及正弦定理得,sin2BsinAsinC所以（2）由题意得,ac2,即b22由余弦定理得,b2a2+c22accosB,得a2+c2b2+2accosB5,即（a+c）2a2+c2+2ac5+49,所以a+c3本试题主要考查了运用三角形中两个定理,求解三角形中边与角的问题的运用。19.已知数列中,且满足.(1) 求数列的通项公式；(2) 设是数列的前项和,求.【答案】(1) ；(2) .【解析】【分析】（1）利用已知求出公差即得数列通项公式；（2）先求出当时,时,再对分类讨论求出.【详解】（1）由题意得数列是等差数列,
12、2,； （2）令,即当时,时,当时,=当时, =（） .【点睛】本题主要考查等差数列通项基本量的计算,考查等差数列的求和,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.设实数满足（其中）,实数满足。（1）若,且为真,求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件,求实数的取值范围。【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）为真,得真,真同时成立,对条件,中的变量取交集；（2）“是的必要不充分条件”等价于“是的必要不充分条件”.【详解】（1）若,则,又,因为为真,所以真,真同时成立,所以解得：,所以实数的取值范围.（2）,因为是的必要不充分条件,所以是的必要不充分条件,所以中变量的取值集合是中变量
13、的取值集合的真子集,所以.【点睛】在进行简易逻辑中的条件转换时,要充分利用原命题与其逆否命题的等价性,如是的充分不必要条件是的充分不必要条件.21.如图,一个铝合金窗分为上、下两栏,四周框架和中间隔档的材料为铝合金,宽均为,上栏与下栏的框内高度（不含铝合金部分）的比为,此铝合金窗占用的墙面面积为.该铝合金窗的宽与高分别为,铝合金窗的透光面积为.（1）试用,表示；（2）若要使最大,则铝合金窗的宽与高分别为多少？【答案】（1）；（2）铝合金窗的宽为,高为时,可使透光部分的面积最大【解析】试题分析：（1）先根据题意分别求出上、下两栏的高和宽,然后利用矩形的面积公式将三个透光部分的面积求出相加,即可求
14、解；（2）抓住进行化简变形,然后利用基本不等式进行求解,注意等号成立的条件,然后求出等号是的值即可试题解析：（1）铝合金窗宽为,高为, 又设上栏框内高度为,则下栏框内高度为,则,透光部分的面积（2）,当且仅当时等号成立,此时,代入式得,从而,即当,时,取得最大值铝合金窗的宽为,高为时,可使透光部分的面积最大.考点：函数模型的选择与应用【方法点晴】本题主要考查了函数模型的选择与应用,其中解答中涉及到函数解析式的求解、基本不等式求最值等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及转化思想的应用,本题的解答中将实际问题转化为数学问题的能力,同时利用基本不等式求解函数的最值是解答的关键,试题比较基础,属于基础题22.已知数列an及fn(x)=a1x+a2x2+anxn, fn(-1)=(-1)nn,n=1,2,3,（1）求
