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1、第1页 共 5 页 中学生标准学术能力测试诊断性测试中学生标准学术能力测试诊断性测试 2019 年年 7 月测试月测试 理科数学答案理科数学答案 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B B A D A D B C D A B 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 6 分 共 24 分 13 5 3 2 14 1 3 n 2 3n n 2 n 为奇数 为偶数 15 3 1 16 3 4 a 三 解答题 共三 解答题 共 66 分 解答应写出文字说明 证明过
2、程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 12 分 解 1 Baba 2222 cos434 222 3 cos1 4bBa bBa3sin2 由正弦定理 得 BBAsin3sinsin2 0sin B 3 分 所以 2 3 sin A 0A 所以 3 A或 3 2 A 6 分 2 3 A 3 2 CB 得 3 2 0 B 6 5 sin sin3 6 sin sin3BBCBy sin 7cos 2 1 sin 2 33 BBB 其中 9 3 tan 9 分 第2页 共 5 页 当1 sin B时 即 2 B时 3sinsin 6 yBC 取最大值7 12 分 18 1
3、8 12 分 1 连接AC 由于 11 AACC 且 11 CCAA 所以四边形 11 ACC A为 平行四边形 ACCA 11 又底面ABCD为等腰梯形 ADCDBCAB 2 1 BCAD 延长DCAB 交于G 60 ADC 30 BACACBDAC 90 DCA ACCD 2 分 侧棱 1 C C 平面ABCD AC 平面ABCD 所以 1 C CAC 4 分 又 1 CDCCC 所以AC 平面 11 CDDC 故 11 AC 平面 11 CDDC 6 分 2 解法一 由题意 1 2 2BC 延长DC 11 DC AB 11 A B交于点G 取CG中点M 连BMAC 由 11 BMACAC
4、 BM 平面 111 ABC 11 AC 平面 111 ABC 所以BM 平面 111 ABC 因此点B到平面 111 ABC的距离和点M到平面 111 ABC的距离相等 8分 由 1 知 11 AC 平面 11 CDDC 又 11 AC 平面 111 ABC 所以平面 111 A BC 面 11 CDDC 过点M作 1 MHGD 则MH 平面 111 ABC 即点M到平面 111 ABC的距离为 2 2 MH 10分 所以直线 1 BC与平面 111 ABC所成角为 则有 1 2 1 2 sin 42 2 MH BC 12 分 第3页 共 5 页 解法二 建系法 ABCDDD平面 1 DAD
5、D 1 以D为坐标原点O DA为x轴 过D作平面 11ADD A的垂线为y轴 1 DD为 z轴 如 图 所 示 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 则 111 3 3 0 4 0 2 3 3 1 1 3 2BABC 1 2 0 2BC 1111 3 3 0 2 0 1ACBC 设平面 111 ABC的法向量为 nx y z 由 11 11 330 20 AC nxy BC nxz 解得3 2yx zx 令1x 则3 2yz 1 3 2n 9 分 设直线 1 BC与平面 111 ABC所成角为 则 1 21 sincos 42 2 2 2 BC n 12 分 19 12 分 1 这四位同学中有且
6、仅有两位同学报同一个项目的概率为 9 4 3 ACC P 4 2 2 1 3 2 4 4 分 2 由题设知这四位同学报名参加校运会项目的个数 的可能取值为 1 2 3 27 1 3 C 1P 4 1 3 6 分 27 14 3 AC 2P 4 2 2 2 2 2 4 3 4 2 3 A C C 8 分 9 4 3 C 3P 4 3 3 2 4 A 10 分 第4页 共 5 页 的分布列为 27 65 9 4 3 27 14 2 27 1 1E 12 分 20 15 分 1 由 2 2 1 xy 求导得xy 设 2211 yxByxA 其中 2 22 2 11 2 1 2 1 xyxy 则 11
7、11 xxxyyPAxkPA 设 1 00 kxxP 代入 PA 直线方程得 0110 1xxykx 2 分 PB 直线方程同理 代入可得 0220 1xxykx 所以直线 00 1 xxykxAB 4 分 即 01 0 yxkx 所以过定点 1 k 6 分 2 直线l方程与抛物线方程联立 得到022 2 kxx 由于无交点解0 可得2 2 k 将1 00 kxxxyAB代入 2 2 1 xy 得01 2 1 00 2 kxxxx 8 分 所以 2 00 220 xkx 2 0 12xAB 10 分 设点 P 到直线 AB 的距离是d 则 2 0 0 2 0 1 22 x kxx d 12 分
8、 所以 dABS PAB 2 1 2 3 2 2 0 2 3 0 2 0 222kkxkxx 14 分 所以面积最小值为 2 3 2 2k 15 分 21 15 分 解 1 当 2 1 a时 2 2ln 1 2 1 1 xxxexf x 1 x 1 2 1 2ln 2 1 1 x x xexf x 2 分 令1 2 1 2ln 2 1 1 x x xexh x 则 2 1 2 1 2 1 2 1 xx exh x 1 2 3 P 27 1 27 14 9 4 第5页 共 5 页 1 x 1 1 x e 2 2 1 2 1 0 2 xx 1 2 1 2 1 2 1 2 xx 5 分 0 x h
9、xh单调递增 0 1 hxh 即0 x f 可得 xf单调递增 0 1 fxf恒成立 7 分 1 1 2 1 2ln 1 x x xaexf x 1 x 令1 2 1 2ln 1 x x xaexg x 则 2 1 2 1 2 1 xx aexg x 当 2 1 a时 由 1 知 0 xhxg xg 单调递增 0 1 gxg 即 0 x f xf单调递增 0 1 fxf恒成立 10 分 当 2 1 a时 显然易知 x g 单调递增 因为021 1 ag 0 4 1 16 1 4 4 1 16 1 16 1 4 1 24 14 2 14 a a a e aa aeag aa 所以存在 24 1 0 ax使得0 0 x g 12 分 当 0 1xx 时 0 x g xg 单调递减 0 1 gxg 即0 x f xf单调递减 0 1 fxf 不符合题意 综上所述 2 1 a 15 分
