《2020高考数学艺考生冲刺第八章立体几何第25讲立体几何与空间向量（理）课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020高考数学艺考生冲刺第八章立体几何第25讲立体几何与空间向量（理）课件（89页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、知 识 梳 理典 例 变 式基 础 训 练能 力 提 升真 题 演 练 第25讲 立体几何与空间向量 理 知 识 梳 理典 例 变 式基 础 训 练能 力 提 升真 题 演 练知 识 梳 理 1 点 线 面空间位置关系 设直线l的方向向量为a a1 b1 c1 平面 的法向量分别为u a2 b2 c2 v a3 b3 c3 1 线面平行 l a u a u 0 a1a2 b1b2 c1c2 0 2 线面垂直 l a u a ku a1 ka2 b1 kb2 c1 kc2 3 面面平行 u v u kv a2 ka3 b2 kb3 c2 kc3 4 面面垂直 u v u v 0 a2a3 b2b
2、3 c2c3 0 知 识 梳 理典 例 变 式基 础 训 练能 力 提 升真 题 演 练知 识 梳 理 2 空间角 1 异面直线所成的角 设a b分别是两异面直线l1 l2的方向向量 则 2 直线与平面所成的角 设直线l的方向向量为a 平面 的法向量为n 直线l与平面 所成的角为 则 知 识 梳 理典 例 变 式基 础 训 练能 力 提 升真 题 演 练知 识 梳 理 3 二面角 如图 AB CD是二面角 l 的两个面内与棱l垂直的直线 则二面角的大小 如图 n1 n2分别是二面角 的两个半平面 的法向量 则二面角的大小 满足 cos cos 二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角 或其补角
3、 知 识 梳 理典 例 变 式基 础 训 练能 力 提 升真 题 演 练典 例 变 式 题型一 利用空间向量证明空间位置关系 例1 如图所示 在底面是矩形的四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD E F分别是 PC PD的中点 PA AB 1 BC 2 1 求证 EF 平面PAB 2 求证 平面PAD 平面PDC 知 识 梳 理典 例 变 式基 础 训 练能 力 提 升真 题 演 练典 例 变 式 证明 以A为坐标原点 AB AD AP所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立如图所示的空间 直角坐标系 则A 0 0 0 B 1 0 0 C 1 2 0 D 0 2 0 P 0 0 1 即EF AB
4、又AB 平面PAB EF 平面PAB 所以EF 平面PAB 知 识 梳 理典 例 变 式基 础 训 练能 力 提 升真 题 演 练典 例 变 式 又AP AD A AP 平面PAD AD 平面PAD 所以DC 平面PAD 因为DC 平面PDC 所以平面PAD 平面PDC 规律方法 向量法证明平行与垂直的步骤 1 建立空间直角坐标系 建系时 要尽可能地利用载体中的垂直关系 2 建立空间图形与空间向量之间的关系 用空间向量表示出问题中所涉及的点 直 线 平面的要素 3 通过空间向量的运算求出平面向量或法向量 再研究平行 垂直关系 4 根据运算结果解释相关问题 知 识 梳 理典 例 变 式基 础 训
5、 练能 力 提 升真 题 演 练典 例 变 式 变式训练一 在直三棱柱ABC A1B1C1中 ABC 90 BC 2 CC1 4 点E在线段BB1上 且EB1 1 D F G 分别为CC1 C1B1 C1A1的中点 求证 1 B1D 平面ABD 2 平面EGF 平面ABD 证明 1 以B为坐标原点 BA BC BB1所在的直线分别为x轴 y轴 z轴建立如图所示的空间 直角坐标系B xyz 则B 0 0 0 D 0 2 2 B1 0 0 4 设BA a 则A a 0 0 即B1D BA B1D BD 又BA BD B BA 平面ABD BD 平面ABD 因此B1D 平面ABD 知 识 梳 理典
6、例 变 式基 础 训 练能 力 提 升真 题 演 练典 例 变 式 即B1D EG B1D EF 又EG EF E EG 平面EGF EF 平面EGF 因此B1D 平面EGF 结合 1 可知平面EGF 平面ABD 知 识 梳 理典 例 变 式基 础 训 练能 力 提 升真 题 演 练典 例 变 式 题型二 利用空间向量求空间角 例2 1 2017 全国卷 如图 四面体ABCD中 ABC是正三角形 ACD是直角三 角形 ABD CBD AB BD 1 证明 平面ACD 平面ABC 2 过AC的平面交BD于点E 若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分 求二面 角D AE C的余弦值 知
7、识 梳 理典 例 变 式基 础 训 练能 力 提 升真 题 演 练典 例 变 式 解析 1 证明 由题设可得 ABD CBD 从而AD DC 又 ACD是直角三角形 所以 ADC 90 取AC的中点O 连接DO BO 则DO AC DO AO 又因为 ABC是正三角形 所以BO AC 所以 DOB为二面角D AC B的平面角 在Rt AOB中 BO2 AO2 AB2 又AB BD 所以BO2 DO2 BO2 AO2 AB2 BD2 故 DOB 90 所以平面ACD 平面ABC 知 识 梳 理典 例 变 式基 础 训 练能 力 提 升真 题 演 练典 例 变 式 知 识 梳 理典 例 变 式基
8、础 训 练能 力 提 升真 题 演 练典 例 变 式 设n x1 y1 z1 是平面DAE的法向量 知 识 梳 理典 例 变 式基 础 训 练能 力 提 升真 题 演 练典 例 变 式 知 识 梳 理典 例 变 式基 础 训 练能 力 提 升真 题 演 练典 例 变 式 例2 2 2019 南昌重点中学联考 如图 四边形ABCD是矩形 沿对角线AC将 ACD 折起 使得点D在平面ABC内的射影恰好落在边AB上 1 求证 平面ACD 平面BCD 知 识 梳 理典 例 变 式基 础 训 练能 力 提 升真 题 演 练典 例 变 式 解析 1 证明 如图 设点D在平面ABC内的射影为点E 连接DE
9、则DE 平面ABC 所以DE BC 因为四边形ABCD是矩形 所以AB BC 所以BC 平面ABD 所以BC AD 又AD CD 所以AD 平面BCD 而AD 平面ACD 所以平面ACD 平面BCD 知 识 梳 理典 例 变 式基 础 训 练能 力 提 升真 题 演 练典 例 变 式 2 以点B为原点 线段BC所在的直线为x轴 线段AB所在的直线为y轴 建立空间直角坐 标系 如图所示 设AD a 则AB 2a 所以A 0 2a 0 C a 0 0 知 识 梳 理典 例 变 式基 础 训 练能 力 提 升真 题 演 练典 例 变 式 知 识 梳 理典 例 变 式基 础 训 练能 力 提 升真 题
10、 演 练典 例 变 式 规律方法 1 利用空间向量求空间角的一般步骤 建立恰当的空间直角坐标系 求出相关点的 坐标 写出相关向量的坐标 结合公式进行论证 计算 转化为几何结论 2 求空间角应注意的三个问题 两条异面直线所成的角 不一定是直线的方向向量 的夹角 即cos cos 直线与平面所成的角的正弦值等于平面的法向量与直线的 方向向量夹角的余弦值的绝对值 注意函数名称的变化 两平面的法向量的夹角不一 定是所求的二面角 有可能为两法向量夹角的补角 知 识 梳 理典 例 变 式基 础 训 练能 力 提 升真 题 演 练典 例 变 式 变式训练二 1 2019 太原模拟 如图 在几何体ABCDEF
11、中 四边形ABCD是菱形 BE 平面 ABCD DF BE 且DF 2BE 2 EF 3 1 证明 平面ACF 平面BEFD 2 若二面角A EF C是直二面角 求直线AE与平面ABCD所成角的正切值 知 识 梳 理典 例 变 式基 础 训 练能 力 提 升真 题 演 练典 例 变 式 解 1 证明 四边形ABCD是菱形 AC BD BE 平面ABCD BE AC BD BE B AC 平面BEFD AC 平面ACF 平面ACF 平面BEFD 知 识 梳 理典 例 变 式基 础 训 练能 力 提 升真 题 演 练典 例 变 式 2 设AC与BD的交点为O 由 1 得AC BD 分别以OA OB
12、为x轴和y轴 过点O作垂直于平 面ABCD的直线为z轴 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz BE 平面ABCD BE BD DF BE DF BD BD2 EF2 DF BE 2 8 知 识 梳 理典 例 变 式基 础 训 练能 力 提 升真 题 演 练典 例 变 式 设m x1 y1 z1 是平面AEF的法向量 二面角A EF C是直二面角 知 识 梳 理典 例 变 式基 础 训 练能 力 提 升真 题 演 练典 例 变 式 知 识 梳 理典 例 变 式基 础 训 练能 力 提 升真 题 演 练典 例 变 式 2 2019 陕西模拟 如图 在三棱柱ABC A1B1C1中 A1A AB A
13、BC 90 侧面A1ABB1 底 面ABC 1 求证 AB1 平面A1BC 2 若AC 5 BC 3 A1AB 60 求二面角B A1C C1的余弦值 知 识 梳 理典 例 变 式基 础 训 练能 力 提 升真 题 演 练典 例 变 式 解 1 证明 PA 底面ABCD AB 底面ABCD PA AB 又AD AB PA AD A AB 平面PAD PD 平面PAD PD AB E是PD的中点 AD AP AE PD 又AE AB A PD 平面ABE 知 识 梳 理典 例 变 式基 础 训 练能 力 提 升真 题 演 练典 例 变 式 建立如图所示的空间直角坐标系A xyz 令AB 2 则B
14、 2 0 0 P 0 0 2 C 2 2 0 F 1 0 0 令z1 1 则m 2 1 1 为平面PFM的一个法向量 设平面BFM的法向量为n x2 y2 z2 知 识 梳 理典 例 变 式基 础 训 练能 力 提 升真 题 演 练典 例 变 式 知 识 梳 理典 例 变 式基 础 训 练能 力 提 升真 题 演 练典 例 变 式 题型三 立体几何中的探索性问题 例3 2016 北京卷考 如图 在四棱锥P ABCD中 平面PAD 平面ABCD PA 1 求证 PD 平面PAB 2 求直线PB与平面PCD所成角的正弦值 知 识 梳 理典 例 变 式基 础 训 练能 力 提 升真 题 演 练典 例
15、 变 式 解析 1 证明 因为平面PAD 平面ABCD 平面PAD 平面ABCD AD AB AD AB 平面ABCD 所以AB 平面PAD 所以AB PD 又因为PA PD PA AB A 所以PD 平面PAB 2 取AD的中点O 连接PO CO 因为PA PD 所以PO AD 又因为PO 平面PAD 平面PAD 平面ABCD 所以PO 平面ABCD 因为CO 平面ABCD 所以PO CO 因为AC CD 所以CO AD 知 识 梳 理典 例 变 式基 础 训 练能 力 提 升真 题 演 练典 例 变 式 由题意得 A 0 1 0 B 1 1 0 C 2 0 0 D 0 1 0 P 0 0
16、1 如图所示 建立空间直角坐标系O xyz 知 识 梳 理典 例 变 式基 础 训 练能 力 提 升真 题 演 练典 例 变 式 设平面PCD的法向量为n x y z 令z 2 则x 1 y 2 所以n 1 2 2 知 识 梳 理典 例 变 式基 础 训 练能 力 提 升真 题 演 练典 例 变 式 规律方法 利用空间向量巧解探索性问题 1 空间向量最适合于解决立体几何中的探索性问题 它无须进行复杂的作图 论证 推理 只需通过坐标运算进行判断 2 解题时 把要成立的结论当作条件 据此列方程或方程组 把 是否存在 问题转化为 点的坐标是否有解 是否有规定范围内的解 等问题 所以为使问题的解决更简单 有 效 应善于运用这一方法解题 提醒 探索线段上是否存在点时 注意三点共线条件的应用 知 识 梳 理典 例 变 式基 础 训 练能 力 提 升真 题 演 练典 例 变 式 变式训练三 如图所示 四边形ABCD是边长为1的正方形 MD 平面ABCD NB 平面ABCD 且 MD NB 1 E为BC的中点 1 求异面直线NE与AM所成角的余弦值 2 在线段AN上是否存在点S 使得ES 平面AMN
