合情推理与演绎推理ppt课件

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1、 1 了解合情推理的含义 能利用归纳和类比等进行简单的推理 了 解合情推理在数学发现中的作用 了解演绎推理的重要性 掌握演 绎推理的基本模式 并能运用它们进行一些简单推理 了解合情推 理和演绎推理之间的联系与差异 2 了解直接证明的两种基本方法 分析法与综合法 以及间接证明 的一种基本方法 反证法 了解这三种证明方法的思考过程 特点 3 理解复数的基本概念 复数相等的充要条件以及复数的代数表 示法及其几何表示 会进行复数代数形式的四则运算 了解复数代 数形式的加 减运算的几何意义 本章是高中数学中基础性的一章 其中推理与证明是数学的基本思维 过程 是人们经常使用的思维方式 在高考中 归纳推理

2、分析与综合 证明方法仍是高考的主要命题方向 而近年来高考对复数的要求较低 考查难度降低 题量减少 主要是化简 求模等计算题 常以选择题 填空题形式出现 难度为容易题 预测2011年对复数的考查还是以容易题为主 考查基本概念与运 算 而对推理与证明 一方面要关注客观题中对推理的考查 另一 方面则必须重视分析法 综合法以及反证法在解决综合题中的作 用 1 数列3 5 9 17 x 65 的x等于 A 30 B 31 C 32 D 33 设该数列的通项为an 由前四项的规律知 an 2n 1 故选 D 易错点 不能正确通过观察发现规律而产生错误 D 2 在等差数列 an 中 若m n 2p m n

3、p N 则am an 2ap成立 类似地 在等比数列中 若m n 2p m n p N 则有 A am an 2ap B am an 2ap C am an D am an ap2 可用检验法进行排除 D 3 把偶数数列 2n 的各项从小到大依次 排成如图所示的三角形数表 记M r t 表示该表中第r行的第t个数 则表中的数 2008对应于 A A M 45 14 B M 45 24 C M 46 14 D M 46 15 由1 2 3 n 1004 得 因为44 45 1980 45 46 2070 所以2008为第45行的数 又1004 990 14 即2008为第14个数 选A 易错点

4、不能选择正确的解题方法产生错误 4 给出下列三个类比猜想 若a b为实数 且a b 0 则a b至少有一个数为0 类比得猜想 对向量a b 若a b 0 则a b中至少有一个向量为 0 在平面内 垂直于同一条直线的两直线互相平行 类比得猜想 在空间中 垂直于同一个平面的两个平面互相平行 在平面内过直线外一点 有且只有一条直线与已知直线垂直 类比得猜想 在空间中 过直线外一点 有且只有一个平面与已知 直线垂直 在这三个类比猜想中 正确猜想的个数有 个 由于当a b时 a b 0 所以猜想 不正确 又垂直于同一 个平面的两个平面可能平行也可能相交 故猜想 不正确 1 5 已知凸n边形 n 3 的对

5、角线有f n 条 由 f 3 0 f 4 2 f 5 5 f 6 9 可以猜想f n 根据一个或几个已知判断 事实或假设 得出一个新的判断的思维 过程叫推理 推理一般由两部分组成 前提和结论 推理一般分合情推理和演绎推理两大类 1 合情推理包括归纳推理和类比推理 1 归纳推理 由某类事物的部分对象具有某些特征 推出该类事 物的全部对象都具有这样的特征的推理 或由个别事实概括出一 般结论的推理 称为归纳推理 它是一种由局部到整体 由特殊到 一般的推理 对于一些复杂的问题 一般尝试从简单情形入手进行 归纳猜想 2 类比推理 由两类对象具有某些特征和由其中一类的某些已知特 征推出另一类对象也具有这些

6、特征的推理称为类比推理 这是一种由 特殊到特殊的推理 2 演绎推理 从一般性的原理出发 推出某个特殊情况下的结论 它 是由一般到特殊的推理 三段式推理是演绎推理的主要方法 掌握其书写的基本模式 并注重 先用合情推理发现 再用演绎推理论证的数学模式 重点突破 归纳推理 已知F1 F2分别是双曲线 1的左 右两个焦点 点M在双曲线 上 若 F1MF2 90 求 F1MF2的面积 若 F1MF2 120 求 F1MF2的面积是多少 若 F1MF2 60 求 F1MF2的面积又是多少 观察以上计算结果 你能看出随着 F1MF2的变化 F1MF2的面积将 怎样变化的 因为S F1MF2 MF1 MF2

7、sin 所以只需求出 MF1 MF2 即可 这可根据余弦定理及双曲线的定义求得 由双曲线的方程知 a 2 b 3 c 设 MF1 m MF2 n 则 m n 4 所以 m n 2 16 即m2 n2 2mn 16 又因为 F1MF2 90 所以m2 n2 2c 2 52 mn m2 n2 16 52 16 18 所以S F1MF2 mn 9 若 F1MF2 120 则在 F1MF2中 由余弦定理 得 F1F2 2 m2 n2 2mncos120 即 2 m n 2 2mn 2mncos120 所以52 16 2mn mn mn 12 所以S F1MF2 12mnsin120 同理 当 F1MF

8、2 60 时 S F1MF2 由以上结果可看出 随着 F1MF2的增大 F1MF2的面积在减小 归纳推理是合情推理中的一种 它可以分为完全归纳与不完 全归纳 本题使用的是不完全归纳 归纳的个别情况越多 越具有代 表性 那么推广的命题就越可靠 已知数列 an 的前n项和Sn n2an n 2 而a1 1 通过 计算a2 a3 a4 猜想an等于 A B C D 因为1 a2 4a2 a2 1 a3 1 a4 16a4 a4 代入检验知选 B a3 9a3 B 重点突破 类比推理 已知等差数列 an 的公差为d 前n项和为Sn 数列 an 有如下性质 通项an am n m d 若m n p q

9、则am an ap aq m n p q N am am k am 2k k N 构成等差数列 Sn S2n Sn S3n S2n构成等差数列 类比上述性质 在等比数列 bn 中 写出相类似的结论 从等差数列 等比数列定义的相似性入手进行类比 在等比数列 bn 中 公比为q 前n项和为Sn 则数列 bn 有如下 性质 通项bn bm qn m 若m n p q 则am an ap aq m n p q N am am k am 2k k N 构成等比数列 Sn S2n Sn S3n S2n构成等比数列 类比推理一般要先找出两类事物之间的相似性或一致性 然后用一类事物的性质去推测另一类事物的性质

10、 一般地 如果 类比的相似性越多 相似的性质与推测的性质之间越相关 类比 得出的命题越可靠 在平面几何中有 ABC中 若它的内切圆半径为r 周 长为C 则它的面积S ABC 类比得出空间几何中类似的命题 并予以证明 命题 在三棱锥A BCD中 若它的内切圆半径为R 表面积为S 则它 的体积VA BCD 证明 设三棱锥A BCD的内切球球心为O 连接OA OB OC OD 因为S ABC S BCD S ABD S ACD S 所以VA BCD VO ABC VO BCD VO ABD VO ACD S ABC S BCD S ABD S ACD 重点突破 演绎推理 用三段论证明函数f x x3

11、 2是R上的增函数 证明本例所依据的大前提是增函数的定义 即函数y f x 满足 在给定区间内任取自变量的两个值x1 x2 若x1 x2 则有 f x1 f x2 小前提是f x x3 2在R上满足增函数的定义 这是证 明本例的关键 设x10 因为 又若 则x2 0 且x1 0 由此x1 x2 0 与x1 x2矛盾 所以 又x10 所以当x10 即f x2 f x1 于是根据三段论 得函数f x x3 2是R上的增函数 应用三段论推理来证明问题时 首先要明确什么是问题中的 大前提和小前提 在演绎推理中 只要前提和推理形式是正确的 结 论必定是正确的 定义在实数集上的函数f x 对任意的x y

12、R 有 f x y f x y 2f x f y 且f 0 0 求证 f 0 1 y f x 是偶函数 令x y 0 则有2f 0 2f2 0 因为f 0 0 所以f 0 1 令x 0 则有f y f y 2f 0 f y 2f y 所以f y f y 这说明f x 为偶函数 已知 且f 1 log162 f 2 1 求函数f x 的表达式 已知数列 xn 的项满足xn 1 f 1 1 f 2 1 f n 试求x1 x2 x3 x4 猜想数列 xn 的通项公式 先由f 1 f 2 的值求出a b的值 然后通过计算 x1 x2 x3 x4 归纳出通项公式 把f 1 log162 f 2 1 代入

13、函数表达式得 a 1 b 0 于是 整理得 4b 4 a2 2a 1 2b 1 4a2 4a 1 解得 将x1 x2 x3 x4 的值分别变形为 猜想 归纳推理分为完全归纳和不完全归纳 由归纳推理所 得的结论虽然未必是可靠的 但它由特殊到一般 由具体到抽象的 认识功能 对科学发现是十分有用的 1 归纳推理的一般步骤 1 通过观察个别事物发现某些相同性质 2 从已知的相同性质中推出一些明确表述的一般性命题 并且在一 般情况下 如果归纳的个别情况越多 越具有代表性 那么推广的一般 性结论也越可靠 2 类比推理的一般步骤 1 找出两类事物之间的相似性或一致性 2 用一类事物的性质推测另一类事物的性质

14、 得出一个明确的结论 一般情况下 如果类比的相似性越多 相似的性质与推测的性质之间越 相关 那么类比得出的命题就越可靠 类比推理的结论具有或然性 即可 能真 也可能假 它是一种由特殊到特殊的认识过程 具有很高的实用价 值 是一种合情推理 3 三段论 是演绎推理的一般模式 它包括 1 大前提 已知的一般原理 2 小前提 所研究的特殊情况 3 结论 根据一般原理 对特殊情况作出的判断 在应用三段论推理来证明问题时 首先应该明确什么是问题中的 大前提和小前提 在演绎推理中 只要前提和推理形式是正确的 结论必定正确 4 归纳和类比是常用的合情推理 从推理形式看 归纳是由部分到 整体 个别到一般的推理

15、类比是由特殊到特殊的推理 而演绎推 理是由一般到特殊的推理 从推理所得的结论看 合情推理的结论 不一定正确 而演绎推理在前提和结论都正确的情况下 得到的结 论一定正确 1 2009 湖北卷 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性 状来研究数 例如 他们研究过图1中的1 3 6 10 由于这些数能够表示成三 角形 将其称为三角形数 类似地 称图2中的1 4 9 16 这样 的数成为正方形数 下列数中既是三角形数又是正方形数的是 A 289 B 1024 C 1225 D 1378 C 由图形可得三角形数构成的数列通项 同 理可得正方形数构成的数列通项bn n2 则由bn n2 n N 可排除A D 又由 知an必为奇数 故选C 本题既考查了数列通项公式的求法 也考查了通过已知 条件进行不完全归纳的方法和能力 2 2009 浙江卷 设等差数列 an 的前n项和为Sn 则S4 S8 S4 S12 S8 S16 S12成等差数列 类比以上结论 有 设等比数列 bn 的 前n项积 为Tn 则T4 成等比数列 此题是一个数列与类比推理结合的问题 既考查了数列中 等差数列和等比数列的知识 也考查了通过已知条件进行类比推理的 方法和能力