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1、 4 4 函数y Asin x 的图象 及三角函数模型的简单应用 要点梳理 1 用五点法画y Asin x 一个周期内的简 图时 要找五个特征点 如下表所示 x 0 A 0 A 0 0 基础知识 自主学习 2 函数y sin x的图象经变换得到y Asin x 的图象的步骤如下 各点的纵坐标变为原来的A倍 各点的纵坐标变为原来的A倍 以上两种方法的区别 方法一先平移再伸缩 方 法二先伸缩再平移 特别注意方法二中的平移量 3 当函数y Asin x A 0 0 x 0 表示一个振动时 A叫做 叫做 叫做 x 叫做 叫做 4 三角函数的图象和性质 振幅 周期 相位 初相 频率 5 三角函数模型的应
2、用 1 根据图象建立解析式或根据解析式作出图象 2 将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函 数模型 3 利用收集到的数据作出散点图 并根据散点 图进行函数拟合 从而得到函数模型 基础自测 1 2009 湖南理 3 将函数y sin x的图象向 左平移 0 2 个单位后 得到函数 的图象 则 等于 A B C D 解析 将函数y sin x的图象向左平移 0 2 个单位得到函数y sin x 在A B C D四项中 只有 D 2 为了得到函数 x R的图象 只 需把函数y 2sin x x R的图象上所有的点 A 向左平移 个单位长度 再把所得各点的横 坐标缩短到原来的 倍 纵坐标不变 B 向右
3、平移 个单位长度 再把所得各点的横 坐标缩短到原来的 倍 纵坐标不变 C 向左平移 个单位长度 再把所得各点的横 坐标伸长到原来的3倍 纵坐标不变 D 向右平移 个单位长度 再把所得各点的横坐 标伸长到原来的3倍 纵坐标不变 解析 将y 2sin x的图象向左平移 个单位得到 y 2sin 的图象 将y 2sin 图象上各 点横坐标变为原来的3倍 纵坐标不变 则得 到 的图象 故选C 答案 C 3 已知函数f x asin x bcos x a b为常数 a 0 x R 在 处取得最小值 则函数 A 偶函数且它的图象关于点 0 对称 B 偶函数且它的图象关于点 对称 C 奇函数且它的图象关于点
4、 对称 D 奇函数且它的图象关于点 0 对称 解析 据题意 当 时 函数取得最小值 由 三角函数的图象与性质可知其图象必关于直线 对称 故必有 故原函数f x asin x acos x 答案 D 0 4 将函数y sin 4x的图象向左平移 个单位 得 到y sin 4x 的图象 则 等于 A B C D 解析 将函数y sin 4x的图象向左平移 个 单位后得到的图象的解析式为 C 5 2008 浙江理 5 在同一平面直角坐标系 中 函数 的图象和 直线 的交点个数是 A 0 B 1 C 2 D 4 解析 函数 图象如图所示 直线 与该 图象有两个交点 C 题型一 作y Asin x 的图
5、象 已知函数 1 求它的振幅 周期 初相 2 用 五点法 作出它在一个周期内的图象 3 说明 的图象可由y sin x的 图象经过怎样的变换而得到 1 由振幅 周期 初相的定义即可 解决 2 五点法作图 关键是找出与x相对应的五个点 3 只要看清由谁变换得到谁即可 题型分类 深度剖析 解 1 的振幅A 2 周期 X X 方法一 把y sin x的图象上所有的点向左平移 个单位 得到 的图象 再把 的图象上的点的横坐标缩短到原来的 倍 纵坐标 不变 得到 的图象 最后把 上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍 横坐标不 变 即可得到 的图象 方法二 将y sin x的图象上每一点的横坐标x缩 短为原来
6、的 倍 纵坐标不变 得到y sin 2x的 图象 再将y sin 2x的图象向左平移 个单位 得到 的图象 再将 的图象上每一点的横坐标保持不变 纵坐标伸长为原来的2倍 得到 的图象 1 作三角函数图象的基本方法就是 五点法 此法注意在作出一个周期上的简图后 应向两端伸展一下 以示整个定义域上的图象 2 变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后 伸缩还是先伸缩后平移 对于后者可利用 来确定平移单位 知能迁移1 已知函数 1 用五点法作出函数的图象 2 说明此图象是由y sin x的图象经过怎么样 的变化得到的 3 求此函数的振幅 周期和初相 4 求此函数图象的对称轴方程 对称中心 解 1 列表
7、描点 连线 如图所示 2 方法一 先平移 后伸缩 先把y sin x的图象上所有点向右平移 个单位 得到 的图象 再把 的 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍 纵坐标 不变 得到 的图象 最后将 的图象上所有点的纵坐标伸长到原 来的3倍 横坐标不变 就得到 的图象 方法二 先伸缩 后平移 先把y sinx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2倍 纵坐标不变 得到 的图象 再 把 图象上所有的点向右平移 个单位 得到 的图象 最后将 的图象上所有点的纵坐标伸长到原 来的3倍 横坐标不变 就得到 的图象 题型二 求函数y Asin x b的解析式 如图为y Asin x 的图象的一段 求其解析式
8、 首先确定A 若以N为 五点法作图中的第一个零点 由于此时曲线是 先下降后上升 类似于y sin x的图象 所 以A0 而 可由相位来确定 解 方法一 以N为第一个零点 方法二 由图象知A 1 与 是一致的 由 可得 事实上 同样由 也可得 2 由此题两种解法可见 在由图象求解析式时 第一个零点 的确定是重要的 应尽量使A取正值 3 已知函数图象求函数y Asin x A 0 0 的解析式时 常用的解题方法是待定系 数法 由图中的最大值或最小值确定A 由周期确 定 由适合解析式的点的坐标来确定 但由图 象求得的y Asin x A 0 0 的解析 式一般不惟一 只有限定 的取值范围 才能得出惟
9、一 解 否则 的值不确定 解析式也就不惟一 4 将若干个点代入函数式 可以求得相关待定 系数A 这里需要注意的是 要认清选择 的点属于 五点 中的哪一个位置点 并能正确 代入式中 依据五点列表法原理 点的序号与式子 的关系是 第一点 即图象上升时与x轴的交 点 为 x 0 第二点 即图象曲线的最 高点 为 第三点 即图象下降时 与x轴的交点 为 x 第四点 即图象 曲线的最低点 为 第五点 为 x 2 知能迁移2 2009 辽宁理 8 已 知函数f x Acos x 的图象 如图所示 则 f 0 A B C D 解析 由题意可知 答案 C 题型三 函数y Asin x 的图象与性质的 综合应用
10、 12分 在已知函数f x Asin x x R 其中A 0 0 0 0 0 的单调区 间的确定 基本思想是把 x 看做一个整体 在单调性应用方面 比较大小是一类常见的 题目 依据是同一区间内函数的单调性 一 选择题 1 2009 山东文 3 将函数y sin 2x的图象向 左平移 个单位 再向上平移1个单位 所得图 象的函数解析式是 A y 2cos2x B y 2sin2x C D y cos 2x 解析 将函数y sin 2x的图象向左平移 个 单位 得到函数 即 的图象 再向上平移1个单位 所得图 象的函数解析式为y 1 cos 2x 2cos2x A 定时检测 2 将函数 的图象上各
11、点的纵坐标不 变 横坐标伸长到原来的2倍 再向右平移 个 单位 所得到的图象解析式是 A f x sin x B f x cos x C f x sin 4x D f x cos 4x 解析 A 3 若函数y Asin x m的最大值为4 最小值为0 最小正周期为 直线 是其图象的一条对 称轴 则它的解析式是 解析 答案 D 4 2009 全国 文 9 若将函数y tan x 0 的图象向右平移 个单位长度后 与函 数y tan x 的图象重合 则 的最小值为 A B C D 解析 D 5 电流强度I 安 随时间t 秒 变化的函数 I Asin t A 0 0 0 0 的最小正周期为 为了得
12、到函数g x cos x的图象 只要将y f x 的图 象 A 向左平移 个单位长度 B 向右平移 个单位长度 C 向左平移 个单位长度 D 向右平移 个单位长度 解析 答案 A 二 填空题 7 2009 江苏 4 函数y Asin x A 为常数 A 0 0 在闭区间 0 上的图象如图 所示 则 解析 由函数y Asin x 的图象可知 3 8 2008 全国 改编 若动直线x a与函 数f x sin x和g x cos x的图象分别交于M N两点 则 MN 的最大值为 解析 设x a与f x sin x的交点为M a y1 x a与g x cos x的交点为N a y2 则 MN y1
13、y2 sin a cos a 9 若函数f x 2sin x 0 在 上单调 递增 则 的最大值为 解析 三 解答题 10 已知函数 f x Asin x b 0 0 0 0 0 x R 的图象的一部分如图所示 1 求函数f x 的解析式 2 当 时 求函数y f x f x 2 的最大值与最小值及相应的x的值 解 1 由图象知A 2 T 8 2 y f x f x 2 返回 只要我们坚持了 就没有克服不了的困难 或许 为了将来 为了自己的发展 我们会把一件事情想得非常透彻 对自己越来越严 要求越来越高 对任何机会都不曾错过 其 目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精
14、神 但有时 千里之行 始于足下 我们更需要用时间持久的用心去做一件事情 让自己其中那小小 的浅浅的进步 来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域 强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走 向前看 向前进 所有的未来 都是靠脚步去丈 量 没有走 怎么知道 不可能 没有去努力 又怎么知道不能实现 幸福都是奋斗出来的 那不如 生活中 工作中 就让这 幸福都是奋斗出来的 完完全全彻彻底底的渗入 我们的心灵 着心 心平气和的去体验 去察觉这一种灵魂深处的安详 侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏 但 这种聆听 它绝不是仅限于 执着于 我 而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程
15、度 也就是那 幸福都是奋斗出来的 深处又会是如何 生命不止 奋斗不息 又或者 对于很多优秀的人来说 我们奋斗了一辈 子 拼搏了一辈子 也只是人家的起点 可是 这微不足道的进步 对于我们来说 却是幸福的 也是知足的 因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么 隐隐约约的感觉到 自己的人生正把握在自己手中 并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力 去积极争取的 宝剑锋从磨砺出 梅花香自苦寒来 当我们坦然接受这人生的终局 或许 这无所 皈依的心灵就有了归宿 这生命中觅寻处那真正的幸福 真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生 一生有多少属于我们的时光 陌上的花 落了又开了 开了又落了 无 数个岁月就这样在
16、悄无声息的时光里静静的流逝 童年的玩伴 曾经的天真 只能在梦里回味 每回梦醒时分 总是多了很多伤感 不知不觉中 走过了青春年少 走过了人世 间风风雨雨 爱过了 恨过了 哭过了 笑过了 才渐渐明白 酸甜苦辣咸才是人生的真味 生老病死是自然规律 所以 面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会了坦然承受 面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静 这世上没有什么不能承受的 只要你有足够的坚强 这世上没有什么不能放下的 只要你有足够的胸襟 一生有多少属于我们的 时光 当你为今天的落日而感伤流泪的时候 你也将错过了明日的旭日东升 当你为过去的遗憾郁郁寡欢 患得患失的时候 你也将忽略了沿途美丽的风景 淡漠了对未来美好 生活的憧憬 没有十全十美的生活 没有一帆风顺的旅途 波平浪静的人生太乏味 抑郁忧伤的人生少欢乐 风雨过后的彩虹最绚丽 历经磨砺的生命才丰盈而深刻 见过了各 样的人生 有的轻浮 有的踏实 有的喧哗 有的落寞 有的激扬 有的低回 肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦 大都是缘于生活里的际遇沉浮 走不出个人心里的藩篱 也 许我们能挺得过物质生活的匮乏 却不能抵挡住内心的种种纠结 其实幸福和欢乐大多时候是对
