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1、第59讲双曲线1(2015福建卷)若双曲线E:1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|3,则|PF2|等于(B)A11 B9C5 D3 由题意知a3.由双曲线的定义有|PF1|PF2|3|PF2|2a6,所以|PF2|9.2已知双曲线C:1(a0,b0)的离心率为,则C的渐近线方程为(C)Ayx ByxCyx Dyx 因为,所以ca,所以ba.而1的渐近线方程为yx,所以所求的渐近线方程为yx.3(2017天津卷)已知双曲线1(a0,b0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为(D)A.1 B.1C.y21 Dx2
2、1 根据题意画出草图如图所示(不妨设点A在渐近线yx上)由AOF是边长为2的等边三角形得到AOF60,c|OF|2.又点A在双曲线的渐近线yx上,所以tan 60.又a2b24,所以a1,b,所以双曲线的方程为x21.4(2017新课标卷)已知F是双曲线C:x21的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则APF的面积为(D)A. B.C. D. 因为F是双曲线C:x21的右焦点,所以F(2,0)因为PFx轴,所以可设P的坐标为(2,yP)因为P是C上一点,所以41,解得yP3,所以P(2,3),|PF|3.又因为A(1,3),所以点A到直线PF的距离为1,所以SAPF
3、|PF|131.5(2016北京卷)已知双曲线1(a0,b0)的一条渐近线为2xy0,一个焦点为(,0),则a1,b2. 因为双曲线1(a0,b0)的一条渐近线为2xy0,即y2x,所以2.又双曲线的一个焦点为(,0),所以a2b25.由得a1,b2.6(2016山东卷)已知双曲线E:1(a0,b0)矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|3|BC|,则E的离心率是2. 如图,由题意知|AB|,|BC|2c.又2|AB|3|BC|,所以232c,即2b23ac,所以2(c2a2)3ac,两边同除以a2并整理,得2e23e20,解得e2(负值舍去)7已知点P是双
4、曲线1(a0)上的一点,以点P及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积等于1,且F1PF290,求双曲线的方程 根据题意有由2得|PF1|PF2|2(c24a2),又c24a2a25a2,所以SPF1F1|PF1|PF2|a21,故所求双曲线方程为y21.8已知M(x0,y0)是双曲线C:y21上的一点,F1,F2是C的两个焦点若0,则y0的取值范围是(A)A(,) B(,)C(,) D(,) 由题意知F1(,0),F2(,0),y1,所以(x0,y0)(x0,y0)xy33y10,解得y00,b0)的左顶点为A,右焦点为F,点B(0,b),且0,则双曲线C的离心率为. 因为A(a,0),F(c,
5、0),B(0,b),所以(a,b),(c,b),因为0,所以acb20,即c2a2ac0,所以e2e10,所以e(负值舍去)10已知双曲线C的中心在坐标原点O,对称轴为坐标轴,点(2,0)是它的一个焦点,并且离心率为.(1)求双曲线C的方程;(2)已知点M(0,1),设P(x0,y0)是双曲线C上的点,Q是点P关于原点的对称点,求的取值范围 (1)设双曲线的方程为1(a0,b0),半焦距为c,则c2,又由,得a,b2c2a21,故所求双曲线C的方程为y21.(2)依题意有:Q(x0,y0),所以(x0,y01),(x0,y01),所以xy1,又y1,所以x2,由y1可得,x3,所以x22.故的取值范围是(,2