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1、第61讲求轨迹方程的基本方法1已知点A(2,0)、B(3,0),动点P(x,y)满足x2,则点P的轨迹是(D)A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线 (2x,y),(3x,y),因为x2,所以(2x)(3x)y2x2,即y2x6.2已知F1(1,0)、F2(1,0),且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点P的轨迹是(A)A椭圆 B双曲线C抛物线 D线段 由于|PF1|PF2|2|F1F2|42,所以P点轨迹为椭圆3曲线f(x,y)0关于直线xy20对称曲线的方程是(D)Af(x2,y)0 Bf(x2,y)0Cf(y2,x2)0 Df(y2,x2)0 设(x0,y0)是f(x,y)0上
2、任一点,它关于xy20的对称点为(x,y),则解得又f(x0,y0)0,所以f(y2,x2)0.4设A1、A2是椭圆1长轴的两个端点,P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点,则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为(C)A.1 B.1C.1 D.1 设交点为P(x,y),A1(3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,y0)因为A1、P1,P三点共线,所以,因为A2、P2,P三点共线,所以,解得x0,y0,代入1,化简得1.5在圆x2y29中,过已知点P(1,2)的弦的中点的轨迹方程为(x)2(y1)2. 设弦的中点为M,则OMPM.所以M在以OP为直径的圆上,故所求轨迹方程为(
3、x)2(y1)2.6在平面直角坐标系xOy中,已知圆在x轴上截得的线段长为2,在y轴上截得的线段长为2,则圆心P的轨迹方程为y2x21. 设P(x,y),圆P的半径为r.由题意y22r2,x23r2,从而y22x23,所以P点的轨迹方程为y2x21.7设点F(2,0),动点P到y轴的距离为d,求满足条件|PF|d2的点P的轨迹方程 (方法一)设P的坐标为(x,y),由|PF|2d,得2|x|,即(x2)2y2(2|x|)2.所以y24|x|4x.当x0时,y28x;当x0时,y20即y0.故所求轨迹方程为y28x(x0)和y0(x0)(方法二)由题意|PF|2d,当P在y轴右侧时,可转化为|P
4、F|x2,即点P到定点F的距离等于到定直线l:x2的距离,所以点P在抛物线y28x上当P点在y轴左侧时,|PF|2x,即点P到F(2,0)的距离等于P到直线x2的距离,从而有y0(x0)综上可知,所求轨迹方程为y28x(x0)和y0(x0)8点P是以F1、F2为焦点的椭圆上的一点,过焦点F2作F1PF2的外角平分线的垂线,垂足为点M,则点M的轨迹是(D)A抛物线 B椭圆C双曲线 D圆 连接OM,延长F2M交F1P的延长线于点Q,则|PQ|PF2|.所以|QF1|PF1|PQ|PF1|PF2|2a.因为OM为F1F2Q的中位线,所以|OM|QF1|a.因此点M的轨迹是圆故选D.9直线l与椭圆y2
5、1交于P、Q两点,已知l的斜率为1,则弦PQ中点的轨迹方程为x4y0(x). 设M(x,y)为PQ中点,P(x1,y1),Q(x2,y2),则,得kPQ1.所以x4y0.则M(x,),因为M在椭圆内,所以()21,解得x.所以所求轨迹方程为x4y0(x)10(2016新课标卷)已知抛物线C:y22x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明ARFQ;(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程 由题意知F(,0)设l1:ya,l2:yb,则ab0,且A(,a),B(,b),P(,a),Q(,b),R(,)记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x(ab)yab0.(1)证明:由于F在线段AB上,故1ab0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1bk2.所以ARFQ.(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则SABF|ba|FD|ba|x1|,SPQF.由题设可得2|ba|x1|,所以x10(舍去)或x11.设满足条件的AB的中点为E(x,y)当AB与x轴不垂直时,由kABkDE可得(x1)而y,所以y2x1(x1)当AB与x轴垂直时,E与D(1,0)重合所以所求轨迹方程为y2x1.