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1、圆锥曲线2018年高考小题解析一、 考点分析1. 点、直线、斜率和倾斜角之间的关系；2. 直线与圆的位置关系判断，以及圆内弦长的求法；3. 掌握椭圆、双曲线、抛物线基础内容，特别是参数之间的计算关系以及独有的性质；4. 掌握圆锥曲线内弦长的计算方法（弦长公式和直线参数方程法）；5. 通过研究第二定义，焦点弦问题，中点弦问题加深对图形的理解能力；6. 动直线过定点问题和动点过定直线问题；7. 定值问题；8. 最值问题。二、 真题解析1. 直线与圆位置关系以及圆内弦长问题1.【2018全国1文15】直线与圆交于两点，则=_解析：，圆心坐标为，半径 圆心到直线的距离，由勾股定理得2.【2018全国2
2、理19文20】设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于两点，（1）求的方程；（2）求过点且与的准线相切的圆的方程。解析：（1）直线过焦点，因此属于焦点弦长问题，可以利用焦点弦长公式来求 根据焦点弦长公式可知，则， 则的直线方程为 （2）由（1）知的中点坐标为，所以的垂直平分线方程为，即设所求圆的圆心坐标为，则解得因此所求圆的方程为通过这个题目注意一个在抛物线中不常用的结论：在抛物线中以焦点弦为直径的圆与准线相切，证明过程如下：在上图中过焦点的直线与抛物线交于两点，取的中点，三点分别向准线作垂线，垂足分别为，因为，所以，所以为直径的圆与准线相切。3.【2018北京理10】在极坐标中，直线与圆相切
3、，则=_.解析： 直线与圆相切时，解得4.【2018天津理12】已知圆的圆心为，直线（t为参数）与该圆相交于两点，则的面积为_.解析： 圆心到直线的距离为，所以所以5.【2018天津文 12】在平面直角坐标系中，经过三点的圆的方程为_.解析：两点的中垂线方程为，两点的中垂线方程为，联立解得圆心坐标为，半径所以圆的方程为6.【2018江苏选修 C】在极坐标中，直线的方程为，曲线的方程为，求直线被曲线截得的弦长。解析： ，设直线与圆相交于两点 圆心到直线的距离 2. 椭圆，双曲线，抛物线中基础性的计算问题7.【2018全国1 文4】已知椭圆的一个焦点为，则C的离心率为_.解析：所以， 8.【201
4、8全国2 理5 文6】双曲线的离心率为，则其渐近线方程为_.解析：，则令则，所以渐近线方程为9.【2018全国3 文10】已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为_.解析：，渐近线所以点到渐近线的距离为令，则因为求的是比值，因此没必要求出具体的数字，因为无论是多少，其比值都是相同的。10.【2018北京 文10】已知直线过点且垂直于轴，若被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_.解析：，代入到得，所以，（只能为正数）11.【2018北京文 12】若双曲线的离心率为，则=_.解析：，解得12.【2018天津理 7】已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，设到
5、双曲线的同一条渐近线的距离分别为，且，则双曲线的方程为_.解析：如上图，为右焦点到渐近线的距离的2倍，故，又因为，解得所以双曲线的方程为13.【2018江苏8】在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是_.解析：双曲线的渐近线为，所以14.【2018浙江2】双曲线的焦点坐标是_.解析：，且焦点在轴上，所以焦点坐标为15.【2018上海1】设为椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为_.解析：，P到该椭圆的两个焦点的距离之和为16.【2018上海6】双曲线的渐近线方程为_.解析：，所以渐近线方程为17.【2018全国1 理8】设抛物线的焦点为，过点且斜率为的
6、直线与交于两点，则=_.解析：，过点且斜率为的直线方程为，设，联立所以18.【2018江苏 12】在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，以为直径的圆与直线交于另一点。若，则点的横坐标为_.解析：因为，所以为点到直线的距离，所以，因为为等腰直角三角形，所以设，所以，且解得3. 圆锥曲线的离心率问题19.【2018全国2 理12】已知是椭圆的左右焦点，是的左顶点，点在过点且斜率为的直线上，为等腰三角形，则C 的离心率为_.解析：如上图，所以，因为所以20.【2018全国2 文11】已知是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率是_.解析：因为,且，则所以，解得21.【2018全国3
7、理11】设是双曲线的左右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为_.解析：由题意知：联立，解得，即解得22.【2018北京理14】已知椭圆，双曲线.若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆的离心率为_;双曲线的的离心率为_.解析：如上图，点P在椭圆上，也在以为直径的圆上，所以所以，解得在上图中，所以4. 最值和范围问题23.【2018 全国3 理6文8】直线分别于轴，轴交于两点，点 在圆上，则面积的取值范围是_.解析：，此处用到了三角函数方法和向量法求三角形面积的公式24.【2018北京理7】在平面直角坐标系中，记为点到
8、直线的距离，当变化时，的最大值为_.解析：题目中如果是按照常规的点到直线距离来算，则要同时面对两个变量，点在单位圆上，则最大时等于圆心到直线的距离加半径，这样就可以不用考虑的变化对最值的影响。是圆上的点，所以25.【2018浙江17】点，椭圆上两点满足，则当=_时，点横坐标的绝对值最大。分析：若设点横坐标为，则题目转化为当为何值时，最大 因此可将和放在同一个等式中且将单独分离到一边，含有的式子放到另一边，此时含有的部分类似于关于函数的值域，因此题目的关键是找到一个包含和的等式，两点的坐标通过共线产生关联，且均在椭圆上，因此将两点坐标代入椭圆方程，消去即可得到关于和的等式。解析：设，因为，则联立
9、解得所以，化简得所以当时，取得最大值。26.【2018浙江21】如图，已知点P是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点满足的中点均在上。（1） 设中点为，证明：垂直于轴；（2） 若是半椭圆上的动点，求面积的取值范围。解析：（1）设中点满足：中点满足：所以是方程即的两个根，所以，故垂直于轴。（2）由（1）可知所以,因此，因为，所以因此，面积的取值范围是5. 距离型问题27.【2018全国1理11】已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，若为直角三角形，则_.解析：如上图所示，可得,所在直线方程为联立联立解得6.定值问题28.【2018全国3 理16】已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点，若，则=_.解析：用到结论：在抛物线中以焦点弦为直径的圆与准线相切 所以，设，根据焦点弦斜率公式可得
