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1、2016年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1（4分）设xR，则不等式|x3|1的解集为 2（4分）设z=，其中i为虚数单位，则Imz= 3（4分）已知平行直线l1：2x+y1=0，l2：2x+y+1=0，则l1，l2的距离 4（4分）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是 （米）5（4分）已知点（3，9）在函数f（x）=1+ax的图象上，则f（x）的反函数f1（x）= 6（4分）在正四棱柱ABCD
2、A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，BD1与底面所成角的大小为arctan，则该正四棱柱的高等于 7（4分）方程3sinx=1+cos2x在区间0，2上的解为 8（4分）在（）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于 9（4分）已知ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于 10（4分）设a0，b0，若关于x，y的方程组无解，则a+b的取值范围为 11（4分）无穷数列an由k个不同的数组成，Sn为an的前n项和，若对任意nN*，Sn2，3，则k的最大值为 12（4分）在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，1），P是曲线y=上一个动点，则的取值范围
3、是 13（4分）设a，bR，c0，2），若对于任意实数x都有2sin（3x）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为 14（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2A8的中心，A1（1，0）任取不同的两点Ai，Aj，点P满足+=，则点P落在第一象限的概率是 二、选择题（54=20分）15（5分）设aR，则“a1”是“a21”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件16（5分）下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（）A=6+5cosB=6+5sinC=65cosD=65sin17（5分）已知无穷等比数列an的公比为
4、q，前n项和为Sn，且=S，下列条件中，使得2SnS（nN*）恒成立的是（）Aa10，0.6q0.7Ba10，0.7q0.6Ca10，0.7q0.8Da10，0.8q0.718（5分）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）A和均为真命题B和均为假命题C为真命题，为假命题D为假命题，为真命题三、解答题
5、（74分）19（12分）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧（1）求三棱锥CO1A1B1的体积；（2）求异面直线B1C与AA1所成的角的大小20（14分）有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走于是，菜地分别为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1，0），如图（1）求菜地内的分界线C的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出
6、S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的经验值为设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”21（14分）双曲线x2=1（b0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点（1）直线l的倾斜角为，F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b=，若l的斜率存在，且（+）=0，求l的斜率22（16分）已知aR，函数f（x）=log2（+a）（1）当a=5时，解不等式f（x）0；（2）若关于x的方程f（x）log2（a4）x+2a5=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范
7、围（3）设a0，若对任意t，1，函数f（x）在区间t，t+1上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围23（18分）若无穷数列an满足：只要ap=aq（p，qN*），必有ap+1=aq+1，则称an具有性质P（1）若an具有性质P，且a1=1，a2=2，a4=3，a5=2，a6+a7+a8=21，求a3；（2）若无穷数列bn是等差数列，无穷数列cn是公比为正数的等比数列，b1=c5=1；b5=c1=81，an=bn+cn，判断an是否具有性质P，并说明理由；（3）设bn是无穷数列，已知an+1=bn+sinan（nN*），求证：“对任意a1，an都具有性质P”的充要条件为“bn是常数列”2
8、016年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1（4分）设xR，则不等式|x3|1的解集为（2，4）【分析】由含绝对值的性质得1x31，由此能求出不等式|x3|1的解集【解答】解：xR，不等式|x3|1，1x31，解得2x4不等式|x3|1的解集为（2，4）故答案为：（2，4）【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意含绝对值不等式的性质的合理运用2（4分）设z=，其中i为虚数单位，则Imz=3【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则，先求出
9、复数z的最简形式，由此能求出Imz【解答】解：Z=23i，Imz=3故答案为：3【点评】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的乘除运算法则的合理运用3（4分）已知平行直线l1：2x+y1=0，l2：2x+y+1=0，则l1，l2的距离【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可【解答】解：平行直线l1：2x+y1=0，l2：2x+y+1=0，则l1，l2的距离：=故答案为：【点评】本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力4（4分）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是1.76（
10、米）【分析】先把这组数据按从小到大排列，求出位于中间的两个数值的平均数，得到这组数据的中位数【解答】解：6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，从小到大排列为：1.69，1.72，1.75，1.77，1.78，1.80，位于中间的两个数值为1.75，1.77，这组数据的中位数是：=1.76（米）故答案为：1.76【点评】本题考查中位数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意中位数的定义的合理运用5（4分）已知点（3，9）在函数f（x）=1+ax的图象上，则f（x）的反函数f1（x）=log2（x1）（x1）【分析】由于点（3，9）在函数f（x
11、）=1+ax的图象上，可得9=1+a3，解得a=2可得f（x）=1+2x，由1+2x=y，解得x=log2（y1），（y1）把x与y互换即可得出f（x）的反函数f1（x）【解答】解：点（3，9）在函数f（x）=1+ax的图象上，9=1+a3，解得a=2f（x）=1+2x，由1+2x=y，解得x=log2（y1），（y1）把x与y互换可得：f（x）的反函数f1（x）=log2（x1）故答案为：log2（x1），（x1）【点评】本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6（4分）在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，BD1与底面所
12、成角的大小为arctan，则该正四棱柱的高等于2【分析】根据正四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧棱D1D底面ABCD，判断D1BD为直线BD1与底面ABCD所成的角，即可求出正四棱柱的高【解答】解：正四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧棱D1D底面ABCD，D1BD为直线BD1与底面ABCD所成的角，tanD1BD=，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，BD=3，正四棱柱的高=3=2，故答案为：2【点评】本题考查了正四棱柱的性质，正四棱柱的高的计算，考查了线面角的定义，关键是找到直线与平面所成的角7（4分）方程3sinx=1+cos2x在区间0，2上的解为或【分析】利用二
13、倍角公式化简方程为正弦函数的形式，然后求解即可【解答】解：方程3sinx=1+cos2x，可得3sinx=22sin2x，即2sin2x+3sinx2=0可得sinx=2，（舍去）sinx=，x0，2解得x=或故答案为：或【点评】本题考查三角方程的解法，恒等变换的应用，考查计算能力8（4分）在（）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于112【分析】根据展开式中所有二项式系数的和等于2n=256，求得 n=8在展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项【解答】解：在（）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，2n=256，解得n=8，（）8
14、中，Tr+1=，当=0，即r=2时，常数项为T3=（2）2=112故答案为：112【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题9（4分）已知ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于【分析】可设ABC的三边分别为a=3，b=5，c=7，运用余弦定理可得cosC，由同角的平方关系可得sinC，再由正弦定理可得该三角形的外接圆半径为，代入计算即可得到所求值【解答】解：可设ABC的三边分别为a=3，b=5，c=7，由余弦定理可得，cosC=，可得sinC=，可得该三角形的外接圆半径为=故答案为：【点评】本题考查三角形的外接圆的半径的求法，注意运用正弦定理和余弦定理，考查运算能力，属于基础题10（4分）设a0，b0，若关于x，y的方程组无解，则a+b的取值范围为（2，+
