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1、2013年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分），考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1（4分）不等式0的解为 2（4分）在等差数列an中，若a1+a2+a3+a4=30，则a2+a3= 3（4分）设mR，m2+m2+（m21）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m= 4（4分）已知，则y= 5（4分）已知ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2+ab+b2c2=0，则角C的大小是 6（4分）某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数
2、为 7（4分）设常数 aR，若（x2+）5的二项展开式中x7项的系数为10，则 a= 8（4分）方程的实数解为 9（4分）若cosxcosy+sinxsiny=，则cos（2x2y）= 10（4分）已知圆柱的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则= 11（4分）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）12（4分）设AB是椭圆的长轴，点C在上，且CBA=，若AB=4，BC=，则的两个焦点之间的距离为 13（4分）设常数a
3、0，若9x+对一切正实数x成立，则a的取值范围为 14（4分）已知正方形ABCD的边长为1，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，若i，j，k，l1，2，3，且ij，kl，则的最小值是 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15（5分）函数f（x）=x21（x0）的反函数为f1（x），则f1（2）的值是（）ABC1+D116（5分）设常数aR，集合A=x|（x1）（xa）0，B=x|xa1，若AB=R，则a的取值范围为（）A（，2）B（，2C（2
4、，+）D2，+）17（5分）钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（）A充分条件B必要条件C充分必要条件D既非充分又非必要条件18（5分）记椭圆围成的区域（含边界）为n（n=1，2，），当点（x，y）分别在1，2，上时，x+y的最大值分别是M1，M2，则Mn=（）A0BC2D2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19（12分）如图，正三棱锥OABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积20（14分）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1x10），每一小时可获得的利润是100（5
5、x+1）元（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润21（14分）已知函数f（x）=2sin（x），其中常数0（）令=1，判断函数的奇偶性，并说明理由（） 令=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象对任意aR，求y=g（x）在区间a，a+10上的零点个数的所有可能22（16分）已知函数f（x）=2|x|，无穷数列an满足an+1=f（an），nN*（1）若a1=0，求a2，a3，a4；（2）若a10，且a1，a2，a3成等比数列，求a
6、1的值（3）是否存在a1，使得a1，a2，an，成等差数列？若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由23（18分）如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1C2型点”（1）在正确证明C1的左焦点是“C1C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|1，进而证明原点不是“C1C2型点”；（3）求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1C2型点”2013年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分
7、56分），考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1（4分）不等式0的解为0x【分析】根据两数相除商为负，得到x与2x1异号，将原不等式化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集【解答】解：原不等式化为或，解得：0x，故答案为：0x【点评】此题考查了其他不等式的解法，利用了转化的思想，是一道基本试题2（4分）在等差数列an中，若a1+a2+a3+a4=30，则a2+a3=15【分析】根据给出的数列是等差数列，由等差数列的性质可得a1+a4=a2+a3，结合已知条件可求a2+a3【解答】解：因为数列an是等差数列，根据等差数列的性质有
8、：a1+a4=a2+a3，由a1+a2+a3+a4=30，所以，2（a2+a3）=30，则a2+a3=15故答案为：15【点评】本题考查了等差中项概念，在等差数列中，若m，n，p，q，tN*，且m+n=p+q=2t，则am+an=ap+aq=2at，此题是基础题3（4分）设mR，m2+m2+（m21）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=2【分析】根据纯虚数的定义可得m21=0，m210，由此解得实数m的值【解答】解：复数z=（m2+m2）+（m1）i为纯虚数，m2+m2=0，m210，解得m=2，故答案为：2【点评】本题主要考查复数的基本概念，得到 m2+m2=0，m210，是解题的关键，属于
9、基础题4（4分）已知，则y=1【分析】利用二阶行列式的运算法则，由写出的式子化简后列出方程，直接求解y即可【解答】解：由已知，所以x2=0，xy=1所以x=2，y=1故答案为：1【点评】本题考查了二阶行列式的展开式，考查了方程思想，是基础题5（4分）已知ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2+ab+b2c2=0，则角C的大小是【分析】利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数【解答】解：a2+ab+b2c2=0，即a2+b2c2=ab，cosC=，C为三角形的内角，C=故答案为：【点评】此题考查了
10、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键6（4分）某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为78【分析】设该年级男生有x人，女生有y人，这次考试该年级学生平均分数为a，根据“平均成绩人数=总成绩”分别求出男生的总成绩和女生的总成绩以及全班的总成绩，进而根据“男生的总成绩+女生的总成绩=全班的总成绩”列出方程，结合高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，即可求出这次考试该年级学生平均分数【解答】解：设该班男生有x人，女生有y人，这次考试该年级学生平均分数为a根据题意可知：75x+80y=（
11、x+y）a，且=40%所以a=78，则这次考试该年级学生平均分数为78故答案为：78【点评】本题主要考查了平均数解答此题的关键：设该班男生有x人，女生有y人，根据平均数的意义即平均成绩、人数和总成绩三者之间的关系列出方程解决问题7（4分）设常数 aR，若（x2+）5的二项展开式中x7项的系数为10，则 a=2【分析】利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第r+1项，令x的指数为7求得x7的系数，列出方程求解即可【解答】解：的展开式的通项为Tr+1=C5rx102r（）r=C5rx103rar令103r=7得r=1，x7的系数是aC51x7的系数是10，aC51=10，解得a=2故答案为：2
12、【点评】本题主要考查了二项式系数的性质二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具8（4分）方程的实数解为log34【分析】用换元法，可将方程转化为一个二次方程，然后利用一元二次方程根，即可得到实数x的取值【解答】解：令t=3x（t0）则原方程可化为：（t1）2=9（t0）t1=3，t=4，即x=log34可满足条件即方程的实数解为 log34故答案为：log34【点评】本题考查的知识点是根的存在性，利用换元法将方程转化为一个一元二次方程是解答本题的关键，但在换元过程中，要注意对中间元取值范围的判断9（4分）若cosxcosy+sinxsiny=，则cos（2x2y）=【分析】已知等
13、式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出cos（xy）的值，所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，将cos（xy）的值代入计算即可求出值【解答】解：cosxcosy+sinxsiny=cos（xy）=，cos（2x2y）=cos2（xy）=2cos2（xy）1=故答案为：【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键10（4分）已知圆柱的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则=【分析】过A作与BC平行的母线AD，由异面直线所成角的概念得到OAD为在直角三
14、角形ODA中，直接由得到答案【解答】解：如图，过A作与BC平行的母线AD，连接OD，则OAD为直线OA与BC所成的角，大小为在直角三角形ODA中，因为，所以则故答案为【点评】本题考查了异面直线所成的角，考查了直角三角形的解法，是基础题11（4分）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）【分析】从7个球中任取2个球共有=21种，两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，有=15种取法，利用古典概型的概率计算公式即可求得答案【解答】解：从7个球中任取2个球共有=21种，所取两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，共有=15种取法，所以两球编号之积为偶数的概率为：=故答案为：【点评】本题考查古典概型的概率计算公式，属基础题，其计算公式为：P（A）=，其中n（A）为事件A所包含的基本事件数，m为基本事
