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1、第四章 拉普拉斯方程 的格林函数法 作业题 习题四 6 用二维问题的格林函数法求下列上半空 间内的狄利克莱问题的解 x y o M1 x0 y0 n 式中 在上半平面 y 0外找出点M0 关于边界x轴 y 0的像 点 对称点 M1 然后在M1 上放置适当的负电荷 由 它所产生的负电位 v 是所求的调和函数v 与点M0 处单位电荷产生的电位在边界x轴 y 0上相互抵消 此时 放置在M0 M1处的电荷所形成的电场在上半 平面内M点的电位就是所要求的格林函数G M M0 为求得拉普拉斯方程在上半平面y 0内的 狄利克莱问题的解 须计算G对n在边界y 0处的偏导 由于在平面 y 0上的外法线方向是Oy
2、 轴的负向 所以 求得拉普拉斯方程在上半空间z 0内的狄 利克莱问题的解 5 求证圆域x2 y2 R2的格林函数为 并由此推出圆内狄氏问题的泊松公式 2 35 M0 M M1 P 解 首先给出圆域上的 格林函数 从而并给出圆 域内的狄利克莱问题的 解 O 设有一圆心在原点O 半径为R 的圆周 在 圆内任取一点M0 rOMo r0 延长rOMo至M1并 使rOMo rOM1 r0r1 R2 则点M1称为点M0关于 圆周 的反演点 或对称点 如图 所示 在 点M0处放置一单位正电荷 在点M1处放置 一q 单位的负电荷 通过选择恰当的q 值 使得这两个点电荷所产生的电势在球面 为零 即 式中P为圆周上任意一点 由于三角形 OM1P与 OM0P 在点O处有公共角 且夹这个角的两条边 成比例r0 R R r1 因此这两个三角形相似 于是得 即只要在点M1 处放q R r1单位的负电荷 则由M0 及M1处点源产生的电势在圆周上为零 这样 圆内 的格林函数为 下面 利用格林函数来求 球域内的狄氏问题 须计算G对n在边界G处的偏导 圆周的外法线方 向是垂直圆周向外 所以 的解 式中 g是向量OM0与OM的夹角 M是圆内任一点 rOM r 以及 所以狄氏问题的解为 应用极坐标系 上式变为 圆域内的泊松公式
