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1、兰州一中2018-2019-1学期高二年级期末考试数学试卷(理科)说明：本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。请将所有试题的答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡。第卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.王昌龄从军行中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的 ( )A. 充分条件 B. 必要条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件2.已知空间四边形中，点在上，且，为中点，则 ( )A. B. C. D. 3.设命题：函数的最小正周期为；命题：函数的图象关于直线对称.
2、 则下列判断正确的是 ( )A. 为真 B. 为假 C. 为真 D. 为假4.下列结论错误的是 ( )A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B. 命题“”的否定是 C. 命题“若，则”的逆命题为真命题D. 命题“若，则且”的否命题是“若，则m0或n0”5.已知两点M(2，0)，N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足|0，则动点P(x，y)的轨迹方程为 ( )A. B. C. D. 6.双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则 ( )A. B. C. D. 7.已知椭圆上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若F1PF
3、2为直角三角形，则这样的点P有 ( )A个 B个 C个 D个8.抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则 （ ）A. B. C. D. 9.椭圆与直线交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为 ( )A. B. C . D. 10.直三棱柱中，分别是，的中点，则与所成的角的余弦值为 ( )A B C D 11.抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上的两个动点，且满足设线段的中点在上的投影为，则的最大值是（ ）A B C D12.设椭圆：的左右焦点分别为，过点的直线与交于点，. 若，且，则的离心率为 （ ）A B C D第卷（非选择题，共90分）二
4、、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于_.14.已知长方体中，底面是边长为的正方形，高为，则点到截面的距离是 .15.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖”，乙说“甲、丙都未获奖”，丙说”我获奖了”，丁说“是乙获奖”.四位歌手的话只有一位是假的，则获奖的歌手是_.16.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. (本小题满分10分)已知椭圆的中心在
5、原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，求椭圆方程.已知双曲线与圆. 双曲线的焦距为，它的两条渐近线恰好与圆相切，求双曲线的方程.18. (本小题满分12分)设：实数满足 (其中)，：实数满足(I)若，且为真，求实数的取值范围.(II)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.19(本小题满分12分)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，ABAC1，BB12，ABB160.(I) 证明：AB平面AB1C；(II) 若B1C2，求AC1与平面BCB1所成角的正弦值.20(本小题满分12分) 已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C与直线l1：的一个交点为，且（为坐标原点）.()求抛物
6、线C的方程；(II)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|PB|，求FAB的面积.21(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAB底面ABCD，底面ABCD为矩形，PAPB，O为AB的中点，ODPC.() 求证：OCPD；（II）若PD与平面PAB所成的角为30，求二面角DPCB的余弦值.22(本小题满分12分)已知圆，圆内一定点，动圆过点且与圆内切.记动圆圆心的轨迹为.（）求轨迹方程；（II）过点的动直线l交轨迹于M，N两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以线段MN为直径的圆恒过点Q？若存在，求出点Q的坐标；若
7、不存在，请说明理由.兰州一中2018-2019-1学期期末考试高二数学(理科)参考答案一、 选择题（每题5分，共60分）123456789101112BCDCADCBADBA二、填空题（每小题5分，共20分）13 14 15. 乙 16 三、 解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本题满分10分） 解:设椭圆方程为mx2ny21(m，n0，mn).由解得m，n.椭圆方程为1. 5分由，知. 渐近线方程为bxay0且a2b225，又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r3.3，得a3，b4，双曲线的方程为1. 10分18. （本题满分12分）解(I)当a1时，x25ax4a20即为x25x4
8、0，解得1x4，当p为真时，实数x的取值范围是1x4.当q为真时，由，知2x5.若pq为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是(2，4). 6分(II)是的必要不充分条件，即p是q的必要不充分条件.设Ax|p(x)，Bx|q(x)，则B A.由x25ax4a20得(x4a)(xa)0，Ax|ax4a，又Bx|25，解得0，m2.y1y28，y1y28m， 6分x1x2m2.由题意可知OAOB，即x1x2y1y2m28m0，m8或m0(舍)， 9分直线l2：xy8，M(8，0). 故SFABSFMBSFMA|FM|y1y2|324. 12分21.（本题满分12分） (I)证明如图，连接OP.PAPB，O为AB的中点，OPAB.侧面PAB底面ABCD，OP平面ABCD，OPOD，OPOC.ODPC，OD平面OPC，ODOC，又OPOC，OPODO，OC平面OPD，OCPD. 6分(II)解:法一取CD的中点E，以O为原点，OE，OB，OP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.在矩形ABCD中，由(1)得ODOC，AB2AD，不妨设AD1，则AB
