函数总结

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1、初中函数知识点初中函数知识点总结总结 知识点一 平面直角坐标系知识点一 平面直角坐标系 1 平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴 就组成了平面直角坐标系 其中 水平的数轴叫做 x 轴或横轴 取向右为正方向 铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴 取向上为正方向 两轴的交点 O 即公共的原点 叫做直角坐标系的原点 建立了直角坐标 系的平面 叫做坐标平面 为了便于描述坐标平面内点的位置 把坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分 分别叫做第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 注意 x 轴和 y 轴上的点 不属于任何象限 2 点的坐标的概念 点的坐标用 a b 表示 其顺序是横坐标

2、在前 纵坐标在后 中间有 分开 横 纵坐标的位置不能颠倒 平面内点的坐标是有序实数对 当ba 时 a b 和 b a 是两个不同点的坐标 知识点二 不同位置的点的坐标的特征知识点二 不同位置的点的坐标的特征 1 各象限内点的坐标的特征 点 P x y 在第一象限0 0 yx 点 P x y 在第二象限0 0 yx 点 P x y 在第三象限0 0 yx 点 P x y 在第四象限0 0 yx 2 坐标轴上的点的特征 点 P x y 在 x 轴上0 y x 为任意实数 点 P x y 在 y 轴上0 x y 为任意实数 点 P x y 既在 x 轴上 又在 y 轴上 x y 同时为零 即点 P

3、坐标为 0 0 3 两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点 P x y 在第一 三象限夹角平分线上 x 与 y 相等 点 P x y 在第二 四象限夹角平分线上 x 与 y 互为相反数 4 和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同 位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同 5 关于 x 轴 y 轴或远点对称的点的坐标 的特征 点 P 与点 p 关于 x 轴对称 横坐标相等 纵坐标互为相反数 点 P 与点 p 关于 y 轴对称 纵坐标相等 横坐标互为相反数 点 P 与点 p 关于原点对称 横 纵坐标均互为相反数 6 点到坐标轴及原点的距离 点 P x

4、 y 到坐标轴及原点的距离 1 点 P x y 到 x 轴的距离等于y 2 点 P x y 到 y 轴的距离等于x 3 点 P x y 到原点的距离等于 22 yx 知识点三 函数及其相关概念知识点三 函数及其相关概念 1 变量与常量 在某一变化过程中 可以取不同数值的量叫做变量 数值保持不变的量叫做常量 一般地 在某一变化过程中有两个变量 x 与 y 如果对于 x 的每一个值 y 都有唯一确 定的值与它对应 那么就说 x 是自变量 y 是 x 的函数 2 函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式 使函数有意义的自变量的取值的全体 叫做自变量的取值范围 3 函数的三种表

5、示法及其优缺点 1 解析法 两个变量间的函数关系 有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示 这种表示法叫做解析法 2 列表法 把自变量 x 的一系列值和函数 y 的对应值列成一个表来表示函数关系 这种表示法叫 做列表法 3 图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法 4 由函数解析式画其图像的一般步骤 1 列表 列表给出自变量与函数的一些对应值 2 描点 以表中每对对应值为坐标 在坐标平面内描出相应的点 3 连线 按照自变量由小到大的顺序 把所描各点用平滑的曲线连接起来 知识点四 正比例函数和一次函数知识点四 正比例函数和一次函数 1 正比例函数和一次函数的概念 一般地 如果bkx

6、y k b 是常数 k 0 那么 y 叫做 x 的一次函数 特别地 当一次函数bkxy 中的 b 为 0 时 kxy k 为常数 k 0 这时 y 叫做 x 的正比例函数 2 一次函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线 3 一次函数 正比例函数图像的主要特征 一次函数bkxy 的图像是经过点 0 b 的直线 正比例函数kxy 的图像是经 过原点 0 0 的直线 k的符 号 b 的符 号 函数图像 图像特征 k 0 b 0 y 0 x 图像经过一 二 三象限 y 随 x 的增大而增大 b 0 y 0 x 图像经过一 三 四象限 y 随 x 的增大而增大 k 0 k0 y 0 x 图像经过一

7、二 四象限 y 随 x 的增大而减小 b0 时 图像经过第一 三象限 y 随 x 的增大而增大 图像从左之右上升 2 当 k0 时 y 随 x 的增大而增大 2 当 k0 时 直线与 y 轴交点在 y 轴正半轴上 4 当 b0 k0 时 函数图像的两个分支分别 在第一 三象限 在每个象限内 y 随 x 的增大而减小 x 的取值范围是 x 0 y 的取值范围是 y 0 当 k0 a 0 y 0 x y 0 x 性质 1 抛物线开口向上 并向上无限延伸 2 对称轴是 x a b 2 顶点坐标是 a b 2 a bac 4 4 2 3 在对称轴的左侧 即当 x a b 2 时 y 随 x 的增大而增

8、大 简记左减右增 4 抛物线有最低点 当 x a b 2 时 y 有最小 值 a bac y 4 4 2 最小值 1 抛物线开口向下 并向下无限延伸 2 对称轴是 x a b 2 顶点坐标是 a b 2 a bac 4 4 2 3 在对称轴的左侧 即当 x a b 2 时 y 随 x 的增大而 减小 简记左增右减 4 抛物线有最高点 当 x a b 2 时 y 有最大值 a bac y 4 4 2 最大值 2 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数与x轴交点情况 一元二次方程 2 0axbxc 是二次函数 2 yaxbxc 当函数值0y 时的特殊情况 图象与图象与x轴的交点个数轴的交点个数 当

9、 2 40bac 时 图象与x轴交于两点 12 00A xB x 12 xx 其中的 12 xx 是 一 元 二 次 方 程 2 00axbxca 的 两 根 这 两 点 间 的 距 离 2 21 4bac ABxx a 推导过程 若抛物线cbxaxy 2 与x轴两交点为 00 21 xBxA 由于 1 x 2 x是方程0 2 cbxax的两个根 故 a c xx a b xx 2121 aa acb a c a b xxxxxxxxAB 44 4 2 2 21 2 21 2 2121 当0 时 图象与x轴只有一个交点 当0 时 图象与x轴没有交点 1 当0a 时 图象落在x轴的上方 无论x为

10、任何实数 都有0y 2 当 0a 时 图象落在x轴的下方 无论x为任何实数 都有0y 记忆规律 记忆规律 一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与 x 轴的交点坐标 因此一元二次方程中的ac4b2 在二次函数中表示图像与 x 轴是否有交点 当 0 时 图像与 x 轴有两个交点 当 0 时 图像与 x 轴有一个交点 当 0 或左 h0 或下 k0 或左 h0 或左 h0 或下 k0 或向下 k0 时 抛物线开口向上 a 0 时 抛物线开口向下 a的绝对值越大 开口越小 2 b和a共同决定抛物线对称轴的位置 由于抛物线cbxaxy 2 的对称轴是直线 a b x 2 故 0 b时 对称轴为y轴

11、0 a b 即a b同号 时 对称轴 在y轴左侧 0 a b 即a b异号 时 对称轴在y轴右侧 口诀左同口诀左同 右异右异 3 c的大小决定抛物线cbxaxy 2 与y轴交点的位置 当0 x时 cy 抛物线cbxaxy 2 与y轴有且只有一个交点 0 c 0 c 抛物线经过原点 0 c 与y轴交于正半轴 0 c 与y轴交于负半轴 以上三点中 当结论和条件互换时 仍成立 如抛物线的对称轴在y轴右侧 则 0 a b 知识点十四 中考点击知识点十四 中考点击 考点分析 内容 要求 1 函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点 2 自变量与函数之间的变化关系及图像的识别 理解图像与变量的关系 3

12、 一次函数的概念和图像 4 一次函数的增减性 象限分布情况 会作图 5 反比例函数的概念 图像特征 以及在实际生活中的应用 6 二次函数的概念和性质 在实际情景中理解二次函数的意义 会利用二次 函数刻画实际问题中变量之间的关系并能解决实际生活问题 命题预测 函数是数形结合的重要体现 是每年中考的必考内容 函数的概念主要用选 择 填空的形式考查自变量的取值范围 及自变量与因变量的变化图像 平面直角坐标系等 一般占 3 6 分左右 一次函数与一次方程有紧密地联系 是中考必考内容 一般以填空 选 择 解答题及综合题的形式考查 占 6 分左右 反比例函数的图像和性质的考查常以客观题 形式出现 要关注反比例函数与实际问题的联系 突出应用价值 3 6 分 二次函数是初 中数学的一个十分重要的内容 是中考的热点 多以压轴题出现在试卷中 要求 能通过对 实际问题情景分析确定二次函数的表达式 并体会二次函数的意义 会用描点法画二次函数 图像 能丛图像上分析二次函数的性质 会根据公式确定图像的顶点 开口方向和对称轴 并能解决实际问题 会求一元二次方程的近似值 分析近年中考 预计 2014 年除了继续考查自变量的取值范围及自变量与因变量之间的 变化图像 一次函数的图像和性质 在实际问题中考查对反比例函数的概念及性质的理解 同 时将注重考查二次函数 特别是二次函数的在实际生活中应用