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1、新高考高三数学备考冲刺140分习题汇编问题37圆锥曲线中的存在、探索问题一、考情分析圆锥曲线中的存在性问题、探索问题是高考常考题型之一 ,它是在题设条件下探索某个数学对象 (点、线、数等 )是否存在或某个结论是否成立.由于题目多变,解法不一,我们在平时的教学中对这类题目训练较少,因而学生遇到这类题目时,往往感到无从下手,本文针对圆锥曲线中这类问题进行了探讨二、经验分享解决探索性问题的注意事项探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不
2、知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法三、知识拓展探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备。要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括。它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。探索性问题一般可分为：条件追溯型，结论探索型、条件重组型，存在判断型，规律探究型，实验操作型。每一种类型其求解策略又有所不同。因此，我们在求解时就必须首先要明辨它是哪一种类型的探索问题，然后再根据所属类型制定解题
3、策略。下面分别加以说明：1、条件追溯型这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件。在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意。2、结论探索型这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定。解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论。在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论。3、条件重组型这类问题是指给出了
4、一些相关命题，但需对这些命题进行重新组合构成新的复合命题，或题设的结求的方向，条件和结论都需要去探求的一类问题。此类问题更难，解题要有更强的基础知识和基本技能，需要要联想等手段。一般的解题的思路是通过对条件的反复重新组合进行逐一探求。应该说此类问题是真正意义上的创新思维和创造力。4、存在判断型这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立。解决这类问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论。其中反证法在解题中起着重
5、要的作用。5、规律探究型这类问题的基本特征是：未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论。解决这类问题的基本策略是：通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高。在数列问题研究中，经常是据数列的前几项所提供的信息作大胆的猜测，然后用数学归纳法证明。6、实验操作型这类问题的基本特征是：给出一定的条件要求设计一种方案。解决这类问题的基本策略是：需要借助逆向思考动手实踐。总之，解决探索性问题，较少现成的套路和常规程序，需要较多的分析和数学思想方法的综合应用。它对学生的观察、联想、类比、猜想、抽象、概括等方面
6、的能力有较高的要求。 四、题型分析(一) 是否存在值【例1】已知椭圆=1（ab0）的离心率e=,过点A（0,-b）和B（a,0）的直线与坐标原点距离为.（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E（-1,0）,若直线y=kx+2（k0）与椭圆相交于C、D两点,试判断是否存在k值,使以CD为直径的圆过定点E？若存在求出这个k值,若不存在说明理由.【分析】（1）先由两点式求出直线方程,再根据离心率和点到直线距离公式列出方程解出,即可求得；（2）假设存在这样的直线,联立直线方程和椭圆方程,消去y,得到x的一元二次方程,求出两根之和和两根之积,要使以CD为直径的圆过点E,当且仅当CEDE时,则,再利用y=kx
7、+2,将上式转化,最后求得,并验证.【解析】（1）直线AB方程为：bx-ay-ab0 依题意 解得 椭圆方程为 （2）假设存在这样的k值,由得 设, ,则 而 8分要使以CD为直径的圆过点E（-1,0）,当且仅当CEDE时,则,即 将式代入整理解得 经验证,使成立 综上可知,存在,使得以CD为直径的圆过点E . .【点评】解决探索性问题的注意事项探索性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件；(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外
8、合适的方法【小试牛刀】【安徽省江南十校2019届高三3月综合素质检测】已知抛物线的准线方程为.（1）求抛物线的标准方程；（2）过点作斜率为的直线交抛物线于，两点，点，连接，与抛物线分别交于，两点，直线的斜率记为，问：是否存在实数，使得成立，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由准线方程可知：（2）设，（互不相等） 则，同理三点共线 即 同理 将抛物线与直线联立得：由韦达定理： (二) 是否存在点【例2】已知点是椭圆上任一点,点到直线的距离为,到点的距离为,且.直线与椭圆交于不同两点（都在轴上方）,且.（1）求椭圆的方程；（2）当为椭圆与轴正半轴的交点时,求直线方程；（3）
9、对于动直线,是否存在一个定点,无论如何变化,直线总经过此定点？若存在,求出该定点的坐标；若不存在,请说明理由.【分析】(1) 设,用坐标表示条件列出方程化简整理可得椭圆的标准方程；(2)由（1）可知,即可得,由得,写出直线的方程与椭圆方程联立,求出点的坐标,由两点式求直线的方程即可；(3)由,得,设直线方程为,与椭圆方程联立得,由根与系数关系计算得,从而得到直线方程为,从而得到直线过定点.【解析】（1）设,则, ,化简,得,椭圆的方程为. （2）, 又,.代入解,得（舍）, ,.即直线方程为. （3）,.设,直线方程为.代直线方程入,得. ,=, 直线方程为,直线总经过定点. 【点评】定点的探
10、索与证明问题(1)探索直线过定点时,可设出直线方程为ykxb,然后利用条件建立b、k等量关系进行消元,借助于直线系的思想找出定点(2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关【小试牛刀】【晋冀鲁豫名校2018-2019年度高三上学期期末联考】已知椭圆的离心率为，短轴长为（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆的左焦点为，过点的直线与椭圆交于两点，则在轴上是否存在一个定点使得直线的斜率互为相反数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，也请说明理由【解析】（1）据题意，得 解得， 所以椭圆的标准方程为（2）据题设知点，当直线的斜率存在时，设直线的方程为由，得设，则 设，则直线的斜率分别满足又因为直线的
11、斜率互为相反数，所以，所以，所以，所以，所以，所以 若对任意恒成立，则，当直线的斜率不存在时，若，则点满足直线的斜率互为相反数 综上，在轴上存在一个定点，使得直线的斜率互为相反数 (三) 是否存在直线【例3】设F1,F2分别是椭圆的左右焦点.（1）若P是该椭圆上的一个动点,求的最大值和最小值.（2）是否存在经过点A（5,0）的直线l与椭圆交于不同的两点C,D,使得|F2C|F2D|？若存在,求直线l的方程；若不存在,请说明理由.【分析】（1）将数量积转化为坐标表示,利用坐标的有界性求出最值；（2）设出直线方程,根据|F2C|F2D|,可知F2在弦CD的中垂线上,利用中点和斜率关系,写出中垂线方
12、程,代入F2点即可判断.【解析】（1）易知a,b2,c1,F1（1,0）,F2（1,0）设P（x,y）,则（1x,y）（1x,y）x2y21x24x21x23x20,5,当x0,即点P为椭圆短轴端点时,有最小值3；当x,即点P为椭圆长轴端点时,有最大值4.（2）假设存在满足条件的直线l,易知点A（5,0）在椭圆外部,当直线斜率不存在时,直线l与椭圆无交点.所以满足条件的直线斜率存在,设为k则直线方程为yk（x5）由方程组得：（5k24）x250k2x125k2200依题意,20（1680k2）0得：当时,设交点为C（x1,y1）,D（x2,y2）,CD中点为R（x0,y0）则x1x2,x0y0
13、k（x05）k（5）又|F2C|F2D|,有F2Rl,即1即1即20k220k24,该等式不成立,所以满足条件的直线l不存在.【点评】假设存在,将转化为弦的中点问题以及垂直问题是解题关键【小试牛刀】已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OA的直线l,使得直线l与椭圆C有公共点,且直线OA与l的距离等于4？若存在,求出直线l的方程；若不存在,请说明理由【解析】(1)依题意,可设椭圆C的方程为1(ab0),且可知其左焦点为F(2,0)从而有解得又a2b2c2,所以b212,故椭圆C的方程为1.(2)假设存在符合题意的直线
14、l,设其方程为yxt.由得3x23txt2120.因为直线l与椭圆C有公共点,所以(3t)243(t212)0,解得4t4.另一方面,由直线OA与l的距离d4,得4,解得t2.由于24,4 ,所以符合题意的直线l不存在(四) 是否存在圆【例4】已知椭圆过点,其焦距为（）求椭圆的方程；（）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为,则椭圆在其上一点处的切线方程为,试运用该性质解决以下问题：（i）如图（1）,点为在第一象限中的任意一点,过作的切线,分别与轴和轴的正半轴交于两点,求面积的最小值；（ii）如图（2）,过椭圆上任意一点作的两条切线和,切点分别为当点在椭圆上运动时,是否存在定圆恒与直线相切？若存在,求出圆的方程；若不存在,请说明理由【分析】（1）设椭圆的方程,用待定系数法求解即可；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程,有的题设条件已知点,而斜率未知；有的题设条件已知斜率,点不定,可由点斜式设直线方程第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立,消去一个元,得到一个一元二次方程第三步：求解判别式计算一元二次方程根第四步：写出根与系数的关系第五步：根据题设条件
