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1、2017届普通高中毕业生第二次适应性测试理科数学第卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则( )A B C D2.复数在复平面内对应的点在第一象限,则的取值范围是( )A B C D3.若椭圆:的短轴长等于焦距,则椭圆的离心率为( )A B C D4.在中,则内角的正弦值为( )A B C. D5.如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是( )A B C. 1 D6.若向量,向量在方向上的投影为2,若,则的大小为( )A 2 B C. 4 D7.执行如图的程序框图,输出的的值是( )A28 B3
2、6 C. 45 D558.若以函数的图象中相邻三个最值点为顶点的三角形是面积为1的直角三角形,则的值为( )A1 B2 C. D9.已知底面是边长为2的正方体的四棱锥中,四棱锥的侧棱长都为4,是的中点,则异面直线与所成角的余弦值为( )A B C. D10.定义,设,则由函数的图象与轴、直线所围成的封闭图形的面积为( )A B C. D11.函数是( )A奇函数 B偶函数 C.既是奇函数也是偶函数 D既不是奇函数也不是偶函数12.设实数满足关系:,则实数的最大值为( )A 2 B C. 3 D第卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.设变量满足约束条件,则目标
3、函数的最大值是 14.若锐角满足,则 15.过动点作圆:的切线,其中为切点,若(为坐标原点),则的最小值是 16.定义在上的函数,如果存在函数(为常数),使得对一切实数都成立,则称为函数的一个承托函数,给出如下命题:函数是函数的一个承托函数;函数是函数的一个承托函数;若函数是函数的一个承托函数,则的取值范围是;值域是的函数不存在承托函数.其中正确的命题的个数为 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 已知数列的前项和满足:,.(1)求数列的通项公式;(2)记数列的前项和为,求证:.18. 某食品店为了了解气温对销售量的影响,随机记录了该店1月
4、份中5天的日销售量(单位:千克)与该地当日最低气温(单位:)的数据,如下表:x258911y1210887(1)求出与的回归方程;(2)判断与之间是正相关还是负相关;若该地1月份某天的最低气温为,请用所求回归方程预测该店当日的销售量;(3)设该地1月份的日最低气温,其中近似为样本平均数,近似为样本方差,求.附:回归方程中,.,若,则,.19. 如图,已知侧棱垂直于底面的四棱柱中,(1)若是线段上的点且满足,求证:平面平面;(2)求二面角的平面角的余弦值20. 已知椭圆和抛物线有公共焦点,的中心和的顶点都在坐标原点,过点的直线与抛物线分别相交于两点(其中点在第四象限内)(1)若,求直线的方程;(
5、2)若坐标原点关于直线的对称点在抛物线上,直线与椭圆有公共点,求椭圆的长轴长的最小值21. 已知函数,(1)讨论函数的单调性;(2)若在定义域内恒成立,求实数的取值范围请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.选修4-4:坐标系与参数方程已知圆的极坐标方程为,以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,取相同单位长度(其中,),若倾斜角为且经过坐标原点的直线与圆相交于点(点不是原点)(1)求点的极坐标;(2)设直线过线段的中点,且直线交圆于两点,求的最大值23.选修4-5:不等式选讲(1)解不等式;(2)若满足(1)中不等式,求证:试卷答案一、选择题1-
6、5:BACAD 6-10: DCCAC 11、12:DB二、填空题13. 14 14. 15. 16. 2三、解答题17. 解:(1)第一类解法: 当时,.当时,.而也满足.数列的通项公式为.(2),.则.18. 解:【提示:本题第(1)、(2)问与第(3)问没有太多关系,考生第(1)、(2)问做不对,第(3)问也可能做对,请老师们留意】 (1) 令,,,【说明:如果考生往下算不对结果,只要上面的两个平均数算对其中一个即可给1分】 【说明:2分至4分段,如果考生不是分步计算,而是整个公式一起代入计算,正确的直接给完这部分的分;如果结果不对,只能给1分】(或者:) 所求的回归方程是 (2) 由知
7、与之间是负相关, 【说明:此处只要考生能回答负相关即可给这1分】将代入回归方程可预测该店当日的销售量(千克) (或者:) 【说明:此处只要考生能算得正确的答案即可给这1分】(3)由(1)知,又由得 【说明:此处要求考生算对方差才能给这1分】从而 . 【说明:此处不管考生用什么方法进行变换,只要有变换过程都给这1分】 【说明:此处是结论分1分,必须正确才给】19. 解:(1) 解法(一): ,,,(没有这一步扣一分)以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系. 设是的中点,连接.平面, . 是的中点, . ,,. ,.(证得或也行)与相交于, 平面.在平面内, 平面平面 (2) 解法一: (
8、若第1问已经建系),平面,是平面的一个法向量. ,, ,设平面的法向量是,则,取,得. 平面的法量.由图可知二面角的平面角的余弦值为.20. 解:(1)解法一:由题意得抛物线方程为.设直线的方程为.令,其中. 由,得.联立,可得,,解得,.直线的方程为. (2)设,直线,点在抛物线上, 直线的斜率存在, 关于直线对称,所以.解得.故代入抛物线,可得, .直线的方程为或.设椭圆为. 联立直线和椭圆,消去整理得,解得.则,即.椭圆的长轴长的最小值为21. 解:(1).若时,则在上是增函数.若 时,则在上是增函数.在上是减函数.(2)若在定义域内恒成立,考虑以下情形:当,同时恒成立时,由,恒成立.得
9、:.由,恒成立得:. 当,同时恒成立时,不存在; 当时,为增函数,为减函数, 若它们有共同零点,则恒成立.由,,联立方程组解得:.综上:或.22. 解: (1) 直线的倾斜角为,点的极角.代入圆的极坐标方程得.点的极坐标.(2)由(1)得线段的中点的极坐标是,的直角坐标为.圆的极坐标方程为,圆的直角坐标方程为.设直线的参数方程为(为参数).代入,得.设的参数依次为,则.的最大值为(此时直线的倾斜角为)23. 解:(1)当时,,解得,所以.当时,,解得当时,解得,所以(2)证明: 2017年南宁市高中毕业班第二次适应性测试数学试卷(理科)评分标准一、选择题1已知集合,,则 A. B. C. D.
10、 【答案】B2复数在复平面内对应的点在第一象限,则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A3若椭圆C:的短轴长等于焦距,则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 【答案】C4在中,则角的正弦值为A. B. C. D. 【答案】A5如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是A. B. 开始A=1,S=0A9输出SA=A+1结束S=S+A是否第7题图 C. 1 D. 【答案】D6已知向量,向量在方向上的投影为2.若/,则的大小为A. B. C. D. 【答案】D7执行如图的程序框图,输出的的值是 A. 28 B. 36 C. 45 D. 55 【答案】C8若以函数的图像中相邻三个最值点为
11、顶点的三角形是面积为1的直角三角形,则的值为A.1 B. 2 C. D. 【答案】C9已知底面是边长为2的正方形的四棱锥中,四棱锥的侧棱长都为4,是的中点,则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D. 【答案】A10.定义设,则由函数的图像与轴、直线所围成的封闭图形的面积为A. B. C. D. 【答案】C11函数是A. 奇函数 B. 偶函数C. 既是奇函数也是偶函数 D. 既不是奇函数也不是偶函数 【答案】D12设实数同时满足关系: ,则实数的最大值为A.2 B. C. 3 D. 【答案】B解: 将题设条件变形为,代入由柯西不等式得如下不等式有,解这个一元二次不等式,得所以,当时,实数取得最大值二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分. 把答案填答题卷相应题中横线上.13设变量满足约束条件,则目标函数的最大值是 【答案】1414若锐角满足,则 【答案】15. 过动点作圆:的切线,其中为切点,若(为坐标原点),则的最小值是 . 【答案】16定义在上的函数,如果存在函数,为常数),使得对一切实数都成立,则称为函数的一个承托函数.给出如下命题:函数是函数的一个承托函数;函数是函数的一个承托函数;若函数是