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1、上饶师范学院数学与计算机科学学院本科毕业论文论文题目：积分因子的若干性质 专业：数学与应用数学 班级：06数（1） 学号：06010107 学生姓名：陈林 指导教师姓名：汪小明 上饶师范学院数学与计算机科学学院 2010年 05 月摘 要对于一阶微分方程,求积分因子是一种有效的求解途径，本文总结了具有形如= 、= 、=三种特殊形式的积分因子存在的充要条件，并给出相应的例子.关键词微分方程；充要条件；积分因子AbstractTo the first order differential equation ,we summarize the sufficient and necessary con
2、dition of three particular integrating factor of the forms = 、=and =.We also showed the relevant examples.Key wordsdifferential equation; necessary and sufficient condition; Integrating Factor目录绪论 11.积分因子=存在的充要条件及应用 12.积分因子=存在的充要条件及应用43.积分因子=存在的充要条件及应用 5致谢 8参考文献 9积分因子的若干性质2006级数学与计算机系（1）班 陈林 指导老师：汪小
3、明绪论：求一阶微分方程的解是数学工作者一项基本且重要的工作.由于国内外众多数学家的努力，求解一阶微分方程基本上形成了一套完美的体系.由于该问题比较复杂且涉及的面广，使得有些问题并不是很完善，比如利用解恰当方程的方法求常微分方程的解，是一种好方法，然而积分因子的求法却是不容易的，有的甚至根本无法求出，本文将进一步尝试给出求解某些特殊类型方程的积分因子的方法.一阶微分方程的一般形式为： (1)其中有一类是恰当微分方程，所谓恰当微分方程就是方程（1）的左端恰为某个函数的全微分，其充要条件是=.若此条件不满足时，方程（1）就不是恰当微分方程，此时若有一个恰当的函数0，使得方程（1）两端乘以后所得的方程
4、 （2） 为恰当微分方程，即=， （3） 则称为方程（1）的积分因子.如何求方程（1）的积分因子？本文根据不同类型方程的特点总结了三类积分因子存在的充要条件.1.积分因子=存在的充要条件及应用在讨论两个单变量函数乘积形式的积分因子之前，为了叙述方便，先定义复合分离型积分因子如下：定义1 若存在一元连续可微函数 、使得= , （4）为方程（1）的积分因子，则称（4）为复合分离型积分因子.定理11 方程（1）满足0，,则方程（1）存在复合分离型积分因子= 的充要条件是存在连续函数，连续可微函数和，使得= (5)并且积分因子由下式确定 = , (6)(6)式中的由（5）给出.证明：必要性，将积分因子
5、=代入（3）计算得 （7）由条件0及积分因子= 0，根据（7）得 0， （8）所以有 0 （9）上式左端是关于的函数，其右端也应该为的函数，因此，取一元连续函数，由（9）得知（5）式的正确性. 再证充分性，取二元连续可微函数 = , (10)式中由（5）给出.下面证明由（10）给出的为方程（1）的复合分离型积分因子，计算可得 （11） （12）由（11）减去（12），并利用（5）得 这表明，由（10）式确定的二元函数为方程（1）的积分因子，显然，这是复合分离型的积分因子. 由上面的定理容易得到下面的几个推论：推论12 若方程（1）满足0，,取,则方程（1）存在形如=的积分因子的充要条件是推论2
6、2 同上条件，取,则方程（1）存在形如= 的积分因子的充要条件是 此时，方程（1）存在只与x有关的积分因子=,同理取,能得出只与y有关的积分因子=，文献3-4较详细地讨论了当只为x或y的单变量函数时，如何求积分因子.推论32 同上条件，取,则方程存在形如=的积分因子的充要条件是 并且积分因子= ,.例1. 求方程+=0的积分因子及通解.解: 这里,，所以有 =取,计算可得 =1=根据定理可得，原方程存在复合分离型积分因子，由（6）计算得 = =所以，原方程可化为全微分方程.+=0又= = =所以方程的通解为=c， c为任意常数.2. 积分因子=存在的充要条件与应用定理25 方程（1）具有形如=
7、的积分因子的充要条件为 =证明: 假设积分因子为,则=0为全微分方程，则有 =令,则有 即 当时，有 = 例2 求的积分因子及通解.解： =,所以 = =则原方程变为 为全微分方程取=0，=1则有 ，c为任意常数.整理得=c 为通解.3. 积分因子=存在的充要条件与应用定理36 方程（1）满足0，,则方程（1）存在具有形如=的积分因子的充要条件为 ，其中a,b为任意常数证明: 令z=则， 可化为 而 若 即 所以 此时，积分因子为=例3 求方程的积分因子及通解.解: ,=,=3令时有 所以 =此时，积分因子为= 化为 为全微分方程.取=0，=1有 整理得为通解.从理论上讲，运用积分因子可以获得
8、一阶微分方程的一般解法，本文仅讨论了三类积分因子的求法，它们之间各有特点又互有关系，但在我们具体做题过程中要细心观察每个方程的特点，分析出具体属于哪种类型，并求出相应的积分因子.致谢: 在完稿之即，汪小明老师从选题之初，初稿的审阅到最终成稿这每一个阶段和每一个步骤中，汪小明老师给了我很多宝贵的意见.在整篇文章的写作中多次帮我修改，并指导定稿.在此表示衷心的感谢！参考文献1 刘许成.一类微分方程的积分因子存在定理J.临沂师范学院学报，2003，25（6）.2 王丰效.积分因子的存在性定理及其应用J.喀什师范学院学报，2006，27（3）.3 丁同仁，李承治.常微分方程教程M,北京：高等教育出版社，1991，44-49.4 东北师范大学数学系.常微分方程M,北京高等教育出版社，2001，35-45.5 刘会民.有关一阶微分方程积分因子的计算J，辽宁师范大学学报，2003，26（3）.10 / 10
