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1、待定系数法突破要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等.待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程.使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解.例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线
2、方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解.使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析： 利用对应系数相等列方程； 由恒等的概念用数值代入法列方程； 利用定义本身的属性列方程； 利用几何条件列方程.比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的
3、系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程.例1. 已知函数y的最大值为7，最小值为1，求此函数式.【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数m、n的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”.【解】 函数式变形为： (ym)x4x(yn)0， xR, 由已知得ym0 (4)4(ym)(yn)0 即： y(mn)y(mn12)0 不等式的解集为(-1,7)，则1、7是方程y(mn)y(mn12)0的两根，代入两根得： 解得：或 y或者y此题也可由解集(-1,7)而设(y1)(y7)0,即y6y70，然后与不
4、等式比较系数而得：，解出m、n而求得函数式y.【注】 在所求函数式中有两个系数m、n需要确定，首先用“判别式法”处理函数值域问题，得到了含参数m、n的关于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求参数m、n.两种方法可以求解，一是视为方程两根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集写出不等式，比较含参数的不等式而列出m、n的方程组求解.本题要求对一元二次不等式的解集概念理解透彻，也要求理解求函数值域的“判别式法”：将y视为参数，函数式化成含参数y的关于x的一元二次方程，可知其有解，利用0,建立了关于参数y的不等式，解出y的范围就是值域，使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程
5、.例2. 设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是，求椭圆的方程. y B x A F O F A B【分析】求椭圆方程，根据所给条件，确定几何数据a、b、c之值，问题就全部解决了.设a、b、c后，由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程，再将焦点与长轴较近端点的距离转化为ac的值后列出第二个方程.【解】 设椭圆长轴2a、短轴2b、焦距2c，则|BF|a也可有垂直关系推证出等腰RtBBF后，由其性质推证出等腰RtBOF，再进行如下列式： ，更容易求出a、b的值.【注】 圆锥曲线中，参数（a、b、c、e、p）的确定，是待定系数法的生动体现；如
6、何确定，要抓住已知条件，将其转换成表达式.在曲线的平移中，几何数据（a、b、c、e）不变，本题就利用了这一特征，列出关于ac的等式.一般地，解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设方程（或几何数据）几何条件转换成方程求解已知系数代入.例3. 是否存在常数a、b、c，使得等式1223n(n1)(anbnc)对一切自然数n都成立？并证明你的结论. 【分析】是否存在，不妨假设存在.由已知等式对一切自然数n都成立，取特殊值n1、2、3列出关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值，再用数学归纳法证明等式对所有自然数n都成立.成立，下面用数学归纳法证明对任意自然数n，该等式
7、都成立：假设对nk时等式成立，即1223k(k1)(3k11k10)；当nk1时，1223k(k1)(k1)(k2)(3k11k10) (k1)(k2)(k2)（3k5）(k1)(k2)（3k5k12k24）3(k1)11(k1)10，也就是说，等式对nk1也成立.综上所述，当a8、b11、c10时，题设的等式对一切自然数n都成立.【注】建立关于待定系数的方程组，在于由几个特殊值代入而得到.此种解法中，也体现了方程思想和特殊值法.对于是否存在性问题待定系数时，可以按照先试值、再猜想、最后归纳证明的步骤进行.本题如果记得两个特殊数列12n、12n求和的公式，也可以抓住通项的拆开，运用数列求和公式
8、而直接求解：由n(n1)n2nn得S1223n(n1)(12n)2(12n)(12n)2(3n11n10)，综上所述，当a8、b11、c10时，题设的等式对一切自然数n都成立.例4. 有矩形的铁皮，其长为30cm，宽为14cm，要从四角上剪掉边长为xcm的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问x为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？【分析】实际问题中，最大值、最小值的研究，先由已知条件选取合适的变量建立目标函数，将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究.【解】 依题意，矩形盒子底边边长为(302x)cm，底边宽为(142x)cm，高为xcm. 盒子容积 V(302x)(142
9、x)x4(15x)(7x)x ， 显然:15x0，7x0，x0.设V (15aax)(7bbx)x (a0,b0） 要使用均值不等式，则解得：a， b ， x3 . 从而V()(x)x()27576.所以当x3时，矩形盒子的容积最大，最大容积是576cm.【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件，当条件不满足时要凑配系数，可以用“待定系数法”求.本题解答中也可以令V(15aax)(7x)bx 或 (15x)(7aax)bx，再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组，求出三项该进行凑配的系数，本题也体现了“凑配法”和“函数思想”.【专题训练】1. 设f(x)m，f(x)的反函数f(x)nx5，
10、那么m、n的值依次为_.A. , 2 B. ， 2 C. , 2 D. ，22. 二次不等式axbx20的解集是(,)，则ab的值是_.A. 10 B. 10 C. 14 D. 143. 在(1x)（1x）的展开式中，x的系数是_.A. 297 B.252 C. 297 D. 2074. 函数yabcos3x (b0)的最大值为，最小值为，则y4asin3bx的最小正周期是_.5. 与直线L：2x3y50平行且过点A(1,-4)的直线L的方程是_.6. 与双曲线x1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是_.【简解】1小题：由f(x)m求出f(x)2x2m，比较系数易求，选C；2小题：由不等式解集(,)，可知、是方程axbx20的两根，代入两根，列出关于系数a、b的方程组，易求得ab，选D；- 6 - / 6
