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1、第5节 空间直角坐标系与空间向量 考试要求 1 了解空间直角坐标系 会用空间直角坐标系刻画点的位置 2 借助 特殊长方体 所有棱分别与坐标轴平行 顶点的坐标 探索并得出空间两点间的距 离公式 3 了解空间向量的概念 了解空间向量的基本定理及其意义 掌握空间 向量的正交分解及其坐标表示 4 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 5 掌 握空间向量的数量积及其坐标表示 能用向量的数量积判断向量的共线和垂直 知 识 梳 理 1 空间向量的有关概念 大小 名称定义 空间向量在空间中 具有 和 的量 相等向量方向 且模 的向量 相反向量方向 且模 的向量 共线向量 或平行向量 表示空间向量的有向线段所在的
2、直线互相 或 的向量 共面向量平行于 的向量 方向 相同相等 相反相等 平行重合 同一个平面 2 空间向量的有关定理 1 共线向量定理 对空间任意两个向量a b b 0 a b的充要条件是存在实数 使得 2 共面向量定理 如果两个向量a b不共线 那么向量p与向量a b共面的充要条件 是存在 的有序实数对 x y 使p 3 空间向量基本定理 如果三个向量a b c不共面 那么对空间任一向量p 存在 有序实数组 x y z 使得p 其中 a b c 叫做空间的一个 基底 a b 唯一 xa yb xa yb zc 3 空间向量的数量积及运算律 非零向量a b的数量积a b a b cos a b
3、 2 空间向量数量积的运算律 结合律 a b a b 交换律 a b b a 分配律 a b c a b a c 0 互相垂直 4 空间向量的坐标表示及其应用 设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 a1b1 a2b2 a3b3 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1b1 a2b2 a3b3 0 微点提醒 3 向量的数量积满足交换律 分配律 即a b b a a b c a b a c成立 但不满足 结合律 即 a b c a b c 不一定成立 4 若向量 的投影向量是 则向量 与向量 垂直 当向量 与向量 起点相同时 终 点间的距离最小 基 础 自 测 1 判断下列结论正误 在括号
4、内打 或 1 空间中任意两非零向量a b共面 2 对任意两个空间向量a b 则a b 0 则a b 3 若 a b c 是空间的一个基底 则a b c中至多有一个零向量 4 若a b 0 则 a b 是钝角 解析 对于 2 因为0与任何向量数量积为0 所以 2 不正确 对于 3 若a b c 中有一个是0 则a b c共面 所以 3 不正确 对于 4 若 a b 则 a b 0 故 4 不正确 答案 1 2 3 4 答案 A 3 选修2 1P118A6改编 已知a cos 1 sin b sin 1 cos 则向量a b 与a b的夹角是 解析 a b cos sin 2 cos sin a
5、b cos sin 0 sin cos a b a b cos2 sin2 sin2 cos2 0 4 2018 济宁一中月考 在空间直角坐标系中 A 1 2 3 B 2 1 6 C 3 2 1 D 4 3 0 则直线AB与CD的位置关系是 A 垂直 B 平行 C 异面 D 相交但不垂直 答案 B 5 2019 北京四中月考 已知a 2 3 1 b 4 2 x 且a b 则 b 解析 a b 2 4 3 2 1 x 0 x 2 考点一 空间向量的线性运算 2 因为M是AA1的中点 规律方法 1 选定空间不共面的三个向量作基向量 这是用向量解决立体几何问 题的基本要求 用已知基向量表示指定向量时
6、 应结合已知和所求向量观察图形 将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中 然后利用三角形法则或平行 四边形法则进行运算 2 首尾相接的若干向量之和 等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量 我们把这个法则称为向量加法的多边形法则 提醒 空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算 考点二 共线定理 共面定理的应用 例2 已知E F G H分别是空间四边形ABCD的边AB BC CD DA的中点 用向量方法求证 1 E F G H四点共面 2 BD 平面EFGH 因为E H B D四点不共线 所以EH BD 又EH 平面EFGH BD 平面EFGH 所以BD 平面EFGH 考点三 空间
7、向量的数量积及其应用 多维探究 角度1 数量积的坐标运算 例3 1 已知空间三点A 0 2 3 B 2 1 6 C 1 1 5 角度2 数量积的线性运算 典例迁移 例3 2 经典母题 如图所示 已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1 点E F G分别是AB AD CD的中点 计算 则 a b c 1 a b b c c a 60 迁移探究1 本例的条件不变 求证 EG AB 迁移探究2 本例的条件不变 求EG的长 迁移探究3 本例的条件不变 求异面直线AG和CE所成角的余弦值 训练3 如图所示 四棱柱ABCD A1B1C1D1中 底面为平行四边形 以顶点A为端 点的三条棱长都为1 且两两夹角为60 1 求AC1的长 2 求证 AC1 BD 3 求BD1与AC夹角的余弦值 则 a b c 1 a b b c c a 60 思维升华 1 利用向量解立体几何题的一般方法 把线段或角度转化为向量表示 用已知向量表 示未知向量 然后通过向量的运算或证明去解决问题 其中合理选取基底是优化运算 的关键 2 向量的运算有线性运算和数量积运算两大类 运算方法有两种 一种是建立空间坐 标系 用坐标表示向量 向量运算转化为坐标运算 另一种是选择一组基向量 用 基向量表示其它向量 向量运算转化为基向量的运算
