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1、专题突破练(5)立体几何的综合问题一、选择题1已知直线a平面，直线b平面，则“ab”是“”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件答案D解析“ab”不能得出“”，反之由“”也得不出“ab”故选D2如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，A1AAB2，BC1，AC，若规定正视方向垂直平面ACC1A1，则此三棱柱的侧视图的面积为()A B2C4 D2答案A解析在ABC中，AC2AB2BC25，ABBC作BDAC于D，则BD为侧视图的宽，且BD，侧视图的面积为S2故选A3平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()A3
2、 B4 C5 D6答案C解析如图，既与AB共面也与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1，共5条故选C4在四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，则下列结论正确的是()AACBDBBAC90CCA与平面ABD所成的角为30D四面体ABCD的体积为答案B解析ABAD1，BD，ABADABAD平面ABD平面BCD，CDBD，CD平面ABD，CDAB，AB平面ACD，ABAC，即BAC90故选B5(2018河南豫东、豫北十校测试)鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插
3、器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，原为木质结构，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90度榫卯起来，若正四棱柱体的高为4，底面正方形的边长为1，则该鲁班锁的表面积为 ()A48 B60 C72 D84答案B解析复杂的图形表面积可以用三视图投影的方法计算求得；如图所示：投影面积为421210，共有6个投影面积，所以该几何体的表面积为10660故选B6如图所示，已知在多面体ABCDEFG中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC平面DEFG，平面BEF平面ADGC，ABADDG2，ACEF1，则该多面体的体积为()A2 B
4、4 C6 D8答案B解析如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，那么显然所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半，于是所求几何体的体积为V234故选B7(2018湖北黄冈中学二模)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为2的等边三角形，俯视图是半圆(如图)现有一只蚂蚁从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到A点，则蚂蚁所经过路程的最小值为()A BC D2答案B解析由三视图可知，该几何体是半圆锥，其展开图如图所示，则依题意，点A，M的最短距离，即为线段AMPAPB2，半圆锥的底面半圆的弧长为，展开图中的BPM，APB，APM，在APM中，根据余弦定理有，MA22222222cos84()2
5、，MA，即蚂蚁所经过路程的最小值为，故选B8已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，表面积的最大值是()A22R2 BR2CR2 DR2答案B解析如图所示，为组合体的轴截面，记BO1的长度为x，由相似三角形的比例关系，得，则PO13x，圆柱的高为3R3x，所以圆柱的表面积为S2x22x(3R3x)4x26Rx，则当xR时，S取最大值，SmaxR2故选B9如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为正方形ABCD的两条对角线的交点，点F是棱AB的中点，则异面直线AC1与EF所成角的正切值为()A BC D答案D解析在正方体ABCDA1B1C1D1中，依题意知，EFAD，所以异
6、面直线AC1与EF所成角为C1AD连接C1D，因为AD平面C1CDD1，所以ADDC1，设正方体的棱长为1，则tanC1AD，所以异面直线AC1与EF所成角的正切值为故选D10(2018河北唐山第一次摸底)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2AA1，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为()A B C D答案B解析在长方体ABCDA1B1C1D1中，连接A1D，可得A1DB1C，所以异面直线A1B与B1C所成的角即为直线A1B与直线A1D所成的角，即DA1B为异面直线A1B与B1C所成的角，在长方体ABCDA1B1C1D1中，设ABBC2AA12，则A1BA1D，BD2，在A1BD
7、中，由余弦定理得cosDA1B故选B11在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC边的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足的实数的值有()A0个 B1个 C2个 D3个答案C解析本题可以转化为在MN上找点Q使OQ綊PD1，可知只有Q点与M，N重合时满足条件故选C12(2019四川第一次诊断)如图，在RtABC中，ACB90，AC1，BCx(x0)，D是斜边AB的中点，将BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CBAD，则x的取值范围是()A，2 B，2C(0，2) D
8、(0，答案D解析由题意得，ADCDBD，BCx，取BC中点E，翻折前，在图1中，连接DE，CD，则DEAC，翻折后，在图2中，此时CBADBCDE，BCAD，BC平面ADE，BCAE，又E为BC中点，ABAC1，AE，AD，在ADE中：，5(舍去)，当x(0，2)时，V0，即在(0，2)上，V(x)是增函数；当x(2，5)，V0，即在(2，5)上，V(x)是减函数，所以当x2时，V(x)有最大值为144三、解答题17(2018广东华南师大附中测试二)如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，ABEF，矩形ABCD所在平面和圆O所在的平面互相垂直，已知AB2，EF1(1)求证：平面DAF平面CB
9、F；(2)设几何体FABCD，FBCE的体积分别为V1，V2，求V1V2的值解(1)证明：如图，在矩形ABCD中，CBAB，平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB，CB平面ABEF，AF平面ABEF，AFCB，又AB为圆O的直径，AFBF，CBBFB，CB，BF平面CBF，AF平面CBF，AF平面DAF，平面DAF平面CBF(2)几何体FABCD是四棱锥，FBCE是三棱锥，过点F作FHAB，交AB于H平面ABCD平面ABEF，FH平面ABCD则V1ABBCFH，V2EFFHBC，418(2018厦门开学考试)如图，直三棱柱ABCABC中，ACBC5，AAAB6，D，E分别为AB
10、和BB上的点，且(1)当D为AB中点时，求证：ABCE；(2)当D在AB上运动时，求三棱锥ACDE体积的最小值解(1)证明：三棱柱ABCABC为直三棱柱，AAAB，平行四边形ABBA为正方形，D为AB的中点，故E为BB的中点，DEABACBC，D为AB的中点，CDAB三棱柱ABCABC为直三棱柱，CD平面ABBA，又AB平面ABBA，CDAB又CDDED，AB平面CDE，CE平面CDE，ABCE(2)设BEx，则ADx，DB6x，BE6x由已知可得点C到平面ADE的距离等于ABC的边AB上的高h4，V三棱锥ACDEV三棱锥CADE(S正方形ABBASAADSDBESABE)h363x(6x)x3(6x)h(x26x36)
