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1、第42讲 两直线的位置关系 1.在平面直角坐标系中,过点(0,0),(2,3)的直线l1与直线l:2x+3y-1=0的位置关系是()A.垂直B.相交但不垂直C.无法判断D.平行2.2018南昌模拟 若直线x+2ay-1=0与直线(a-1)x-ay-1=0平行,则实数a的值为()A.-1B.12或0C.1D.-2或03.2018广东汕头模拟 直线x+y=k与x-y=1k的交点()A.在直线上B.在圆上C.在椭圆上D.在双曲线上4.已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值为. 5.2018山东临沂质检 已知点A(3,1),B(-1,2),若ACB的平分
2、线在y=x+1上,则AC所在直线的方程是.6.下列命题中:两条直线互相平行等价于它们的斜率相等而截距不等;方程(2x+y-3)+(x-y+2)=0(为常数)表示经过两直线2x+y-3=0与x-y+2=0交点的所有直线;过点M(x0,y0)且与直线ax+by+c=0(ab0)平行的直线的方程是a(x-x0)+b(y-y0)=0;两条平行直线3x-2y+5=0与6x-4y+8=0之间的距离d=|5-4|32+(-2)2.其中假命题有()A.0个B.1个C.2个D.3个7.已知倾斜角为的直线l与直线x+2y-3=0垂直,则cos20172-2的值为()A.45B.-45C.12D.-128.设A,B
3、是x轴上的两点,点P的横坐标为3,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是()A.x+y-5=0B.2x-y-1=0C.x-2y+4=0D.x+y-7=09.设两条直线的方程分别为x+y+a=0,x+y+b=0,已知a,b是方程x2+x+c=0的两个实根,且0c18,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是()A.24,14B.2,22C.2,12D.22,1210.2018兰州模拟 一只虫子从点O(0,0)出发,先爬行到直线l:x-y+1=0上的P点,再从P点出发爬行到点A(1,1),则虫子爬行的最短路程是()A.2B.2C.3D.411.使三条直线4x
4、+y=4,mx+y=0,2x-3my=4不能围成三角形的m的取值最多有()A.1个B.2个C.3个D.4个12.已知直线l1的方程为3x+4y-12=0,若直线l2与直线l1垂直,且直线l2与两坐标轴围成的三角形的面积为4,则直线l2的方程为. 13.已知0k4,直线l1:kx-2y-2k+8=0和直线l2:2x+k2y-4k2-4=0与两坐标轴围成一个四边形,则使得这个四边形的面积最小的k的值为.14.若直线m被两平行线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为22,则m的倾斜角可以是:15;30;45;60;75.其中正确的序号是.15.定义点P(x0,y0)到直线l:a
5、x+by+c=0(a2+b20)的有向距离d=ax0+by0+ca2+b2.已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2)到直线l的有向距离分别是d1,d2,则以下说法中正确的是()A.若d1=d2=1,则直线P1P2与直线l平行B.若d1=1,d2=-1,则直线P1P2与直线l垂直C.若d1+d2=0,则直线P1P2与直线l垂直D.若d1d20,则直线P1P2与直线l相交16.设mR,过定点A的直线x+my=0和过定点B的直线mx-y-m+3=0交于点P,则|PA|+|PB|的最大值是. 课时作业(四十二)1.A解析 易知直线l的斜率为-23,直线l1的斜率为32,所以直线l1与直线l垂直,故
6、选A.2.B解析 当a=0时,显然满足题目条件;当a0时,由a-11=-a2a-1-1,得a=12.3.D解析 由x+y=k,x-y=1k2x=k+1k,2y=k-1k4x2-4y2=4,即x2-y2=1,所以两条直线的交点在双曲线上,故选D.4.-13或-79解析 由题意及点到直线的距离公式,得|-3a-4+1|a2+1=|6a+3+1|a2+1,解得a=-13或-79.5.x-2y-1=0解析 设点A关于直线y=x+1对称的点为A(x0,y0),则y0-1x0-3=-1,y0+12=x0+32+1,解得x0=0,y0=4,即A(0,4),直线AB的方程为y-4=4-20+1x,即2x-y+
7、4=0.由2x-y+4=0,y=x+1,解得x=-3,y=-2,即C(-3,-2),直线AC的方程为y+2=1+23+3(x+3),即x-2y-1=0.6.D解析 当两条直线的斜率不存在时,是假命题;方程(2x+y-3)+(x-y+2)=0不表示直线x-y+2=0,所以是假命题;若点M(x0,y0)在直线ax+by+c=0上,则c=-ax0-by0,此时直线a(x-x0)+b(y-y0)=0与直线ax+by+c=0重合,所以是假命题;由两平行线间的距离公式可知,是真命题.故选D.7.A解析 由直线x+2y-3=0的斜率为-12,直线l与直线x+2y-3=0垂直,得tan=2,则cos20172
8、-2=cos1008+2-2=cos2-2=sin2=2sincossin2+cos2=2tantan2+1=45.故选A.8.D解析 由|PA|=|PB|知,点P在线段AB的垂直平分线上.由点P的横坐标为3,且PA的方程为x-y+1=0,得P(3,4),则直线PA,PB关于直线x=3对称,直线PA上的点(0,1)关于直线x=3的对称点(6,1)在直线PB上,直线PB的方程为x+y-7=0.故选D.9.D解析 依题意得|a-b|=(a+b)2-4ab=1-4c,当0c18时,22|a-b|=1-4c1.因为这两条直线之间的距离为|a-b|2,所以这两条直线之间的距离的最大值与最小值分别是22,
9、12.故选D.10.B解析 点O(0,0)关于直线x-y+1=0的对称点为O(-1,1),则虫子爬行的最短路程为|OA|=(1+1)2+(1-1)2=2.故选B.11.D解析 要使三条直线不能围成三角形,只需其中两条直线平行或者三条直线共点即可.若4x+y=4与mx+y=0平行,则m=4;若4x+y=4与2x-3my=4平行,则m=-16;若mx+y=0与2x-3my=4平行,则m值不存在;若4x+y=4与mx+y=0及2x-3my=4共点,则m=-1或m=23.综上可知,m的取值最多有4个,故选D.12.4x-3y+46=0或4x-3y-46=0解析 由直线l2与l1垂直,可设直线l2的方程
10、为4x-3y+n=0.令y=0,得x=-n4,令x=0,得y=n3,三角形的面积S=12-n4n3=4,n2=96,即n=46,直线l2的方程是4x-3y+46=0或4x-3y-46=0.13.18解析 由题意知,直线l1,l2恒过定点P(2,4),直线l1的纵截距为4-k,直线l2的横截距为2k2+2,所以四边形的面积S=(2k2+2-2)412+(4-k+4)212=4k2-k+8,故其面积S最小时,k=18.14.解析 记直线m的倾斜角是.由题意知直线l1,l2之间的距离等于22=2.因为直线m被直线l1,l2所截得的线段的长是22,所以直线m与直线l1的夹角的正弦值等于222=12,即
11、直线m与直线l1的夹角是30,又直线l1的倾斜角是45,所以=15或=75,故正确的序号是.15.A解析 若d1=d2=1,则ax1+by1+c=ax2+by2+c=a2+b2,易知直线P1P2与直线l平行,A说法正确;若d1=1,d2=-1,则点P1,P2分别在直线l的两侧且到直线l的距离相等,则直线P1P2与直线l不一定垂直,B说法错误;对于C,当d1=d2=0时,满足d1+d2=0,但此时ax1+by1+c=ax2+by2+c=0,则点P1,P2都在直线l上,此时直线P1P2与直线l重合,C说法错误;若d1d20,即(ax1+by1+c)(ax2+by2+c)0,则直线P1P2与直线l相交或重合,D说法错误.故选A.16.25解析 由题意可得,直线x+my=0过定点A(0,0),mx-y-m+3=0可化为(x-1)m+3-y=0,令x-1=0,3-y=0,解得x=1,y=3,即B(1,3).又1m+m(-1)=0,故两直线垂直,|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.由基本不等式可得10=|PA|2+|PB|2=(|PA|+|PB|)2-2|PA|PB|(|PA|+|PB|)2-2|PA|+|PB|22=12(|PA|+|PB|)2,(|PA|+|PB|)220,0|PA|+|PB|25,当且仅当|PA|=|PB|=5时取等号,故|PA|+|PB|的最大值是25.
