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1、一、（8分）计 算解： .5 .8二、（8分）设, 求解： 3AB-2A= = 三、（12分）设 AB = A + 2B，求B解： (A-2E)B=A 所以B=(A-2E)-1A .4 .1012四、（12分）求非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系: (1)解 对增广矩阵进行初等行变换, 有6.与所给方程组同解的方程为.当x3=0时, 得所给方程组的一个解h=(-8, 13, 0, 2)T. .9与对应的齐次方程组同解的方程为.当x3=1时, 得对应的齐次方程组的基础解系x=(-1, 1, 1, 0)T.12五、（10分）设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3, 已知h1,
2、h2, h3是它的三个解向量. 且 h1=( 1, -1, 2, 5)T, h2+h3=(2, -2, 3, 4)T,求该方程组的通解. 解 由于方程组中未知数的个数是4, 系数矩阵的秩为3, 所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量2 且由于h1, h2, h3均为方程组的解, 由非齐次线性方程组解的结构性质得2h1-(h2+h3)=(h1-h2)+(h1-h3)= (0, 0, 1, 6)T为其基础解系向量6故此方程组的通解: x=k(0, 0, 1, 6)T+(1, -1, 2, 5)T, (kR).10六、（10分）解：用反证法.3，.7，.10七、（15分）设 , , , ,
3、, 求 向 量 组 的秩及最大无关组, 并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示. 解：令 ， 对 作 初 等 行 变 换： .8所以向 量 组 的秩=310 是 它 的 一 个 最 大 无 关 组1215八、（10分）已知3阶矩阵A的特征值为1, -1, 2, 解 因为A的特征值全不为0, 知A可逆, 故A*=|A|A-1. 而|A|=l1l2l3=-2,.3 所以 58若令B=j(A), 有, 故j(A)的特征值为j(1)=-14, j(-1)=-6, j(2)=-12,.10 于是|B|=(-14)(-6)(-12)=-28810九、（15分）设二次型(2)求A的特征值及特征向量.(3)求正交变换x=py，使f化为标准型解 二次型的矩阵为.3 得A的特征值为l1=2, l2,3=4.6 当l1=2时, 解方程(A-2E)x=0, 得特征向量p1=(0, 1, -1)T.8当l2,3=4时, 解方程(A-4E)x=0得特征向量 p2=(1, 0, 0)T. p3=(0, 1, 1)T.10p2, p3 恰好正交.所以 p1 p2，p3两两正交,再将p1 p2，p3单位化得.12 故所求正交矩阵 .15 第 4 页 共 4 页
