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1、. . . .空间向量的应用-求空间角与距离 一、考点梳理1.自新教材实施以来，近几年高考的立体几何大题，在考查常规解题方法的同时，更多地关注向量法（基向量法、坐标法）在解题中的应用。坐标法（法向量的应用），以其问题（数量关系：空间角、空间距离）处理的简单化，而成为高考热点问题。可以预测到，今后的高考中，还会继续体现法向量的应用价值。2.利用法向量求空间角和空间距离，其常用技巧与方法总结如下：1)求直线和直线所成的角若直线AB、CD所成的角是a，cosa=2).利用法向量求线面角设为直线与平面所成的角，为直线的方向向量与平面的法向量之间的夹角，则有或。特别地时， ，；时，或。计算公式为：或3)
2、.利用法向量求二面角设、分别为平面、的法向量，二面角的大小为，向量、的夹角为，则有或。计算公式为： 4).利用法向量求点面距离如图点P为平面外一点，点A为平面内的任一点，平面的法向量为n,过点P作平面a的垂线PO，记OPA=q，则点P到平面的距离naAPOq5).法向量在距离方面除应用于点到平面的距离外，还能处理异面直线间的距离，线面间的距离，以及平行平面间的距离等。其一，这三类距离都可以转化为点面间的距离；其二，异面直线间的距离可用如下方法操作：在异面直线上各取一点A、B，AB在上的射影长即为所求。为异面直线AD、BC公共垂直的方向向量，可由及求得，其计算公式为：。其本质与求点面距离一致。向
3、量是新课程中引进的一个重要解题工具。而法向量又是向量工具中的一朵厅葩，解题方法新颖，往往能使解题有起死回生的效果，所以在学习中应起足够的重视。二、范例分析例1 已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴折成直二面角，如图所示，（1）证明：；（2）求二面角的大小。 分析：题干给出一个直二面角和一条对称轴，易知，故有着明显的建系条件；另外给出梯形的边长、高，则各点坐标较易求得。用坐标法求解，可避开二面角的寻找、理推等困挠，只需先求面与面的法向量，再用公式计算便可。第（1）问的作用在于证明面，也就找到了一个法向量；而面的法向量可用由及求得，只是解出x、y、z关系后，对z的取
4、值要慎重，可先观察二面角的大小是锐角、直角，还是钝角。解：（1）证明：由题设知、，所以是所折成的直二面角的平面角，即。故可以O为原点，、所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标第，如图，则相关各点的坐标是：，从而，即。（2）解：因为，所以。由（1），所以平面，是平面的一个法向量。设是平面的一个法向量，由取，得。设二面角的大小为，由、的方向可知，所以，即二面角的大小是。感悟：（1）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找证求”直接简化成了一步曲：“计算”，这表面似乎淡化了学生的空间想象能力，但实质不然，向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更加注重对学生创新能力
5、的培养，体现了教育改革的精神。（2）利用坐标法求解和距离，关键是有明显或较为明显的建系条件，从而建立适当的空间直角坐标系尽可能多地使空间的点在坐标轴上或坐标平面内，正确表达已知点的坐标。在立体几何数量关系的解决中，法向量的运用可以使问题简单化，其难点在于掌握和应用法向量解决空间解和距离求法的常用技巧与方法，特别是体会其中的转化和思想方法。例2如图，平面ABCD平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且G是EF的中点， （）求证平面AGC平面BGC； （）求GB与平面AGC所成角的正弦值. （）求二面角BACG的大小. 解析：如图，以A为原点建立直角坐标系，则，（I）证明：略 （II）由
6、题意可得，设平面AGC的法向量为，由 （III）因是平面AGC的法向量，又AF平面ABCD，平面ABCD的法向量，得 ， 二面角BACG的大小为 感悟：因为二面角的大小有时为钝角，有时为锐角、直角，所以在计算之前应先依题意判断一下所求二面解的大小，然后根据计算取“相等角”或“补角”。例3如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、BC的中点,CA=CB=CD=BD=2（）求证：AO平面BCD；（）求异面直线AB与CD所成角的大小；（）求点E到平面的距离.本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。（I）证明：连结OC在中
7、，由已知可得而即 平面（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则异面直线AB与CD所成角的大小为（III）解：设平面ACD的法向量为则 令得是平面ACD的一个法向量。又点E到平面ACD的距离例4、如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，是的中点（1）求点到面的距离；（2）求异面直线与所成的角；（3）求二面角的大小解析:(1)以为原点,、分别为、轴建立空间直角坐标系.则有、设平面的法向量为则由由，则点到面的距离为所以异面直线与所成的角.(3)设平面的法向量为则由知:由知:取由(1)知平面的法向量为则.结合图形可知,二面角的大小为:.例5、在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边
8、上的点，满足AE:EBCF:FACP:PB1:2（如图1）。将AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1EFB成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）（）求证：A1E平面BEP；（）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；图1图2（）求二面角BA1PF的大小（用反三角函数表示）解法:（1）作面于,连、,则四边形是正方形,且,以为原点,以为轴,为轴建立空间直角坐标系如图,则(2)设平面的法向量为则由知:;同理由知:可取同理,可求得平面的一个法向量为由图可以看出,三面角的大小应等于则,即所求二面角的大小是.(3)设是线段上一点,则平面的一个法向量为要使与面成角,由图可知与的夹角为,所以则,解得,则故线
9、段上存在点,且,时与面成角.【解后反思】在立体几何学习中,我们要多培养空间想象能力, 对于图形的翻折问题,关健是利用翻折前后的不变量,二面角的平面角的适当选取是立体几何的核心考点之一.是高考数学必考的知识点之一.作,证,解,是我们求二面角的三步骤.作:作出所要求的二面角,证:证明这是我们所求二面角,并将这个二面角进行平面化,置于一个三角形中,最好是直角三角形,利用我们解三角形的知识求二面角的平面角.向量的运用也为我们拓宽了解决立体几何问题的角度,不过在向量运用过程中,要首先要建系,建系要建得合理,最好依托题目的图形,坐标才会容易求得.以上介绍了平面的法向量及其几个引理，以此为工具，解决了立体几何中的部分难题。利用平面法向量解题，方法简便，易于操作，可以避开传统几何中的作图、证明的麻烦，又可弥补空间想像能力的不足，发挥代数运算的长处。深入开发它的解题功能，平面法向量将在数学解题中起到越来越大的作用。 专业.专注 .
