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1、例1. 如图，椭圆E：1(ab0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e，过F1的直线交椭圆于A、B两点，且ABF2的周长为8.（）求椭圆E的方程；（II）设动直线l：ykxm与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由【答案】解：（）|AB|AF2|BF2|8，|AF1|F1B|AF2|BF2|8。又|AF1|AF2|BF1|BF2|2a，4a8，a2。又e，即，以c1。b。椭圆E的方程是1。（II）由得(4k23)x28kmx4m2120。 动直线l与椭圆E有且只有一个公共
2、点P(x0，y0)，m0且0，64k2m24(4k23)(4m212)0，化简得4k2m230，此时x0，y0kx0m。P。由得Q(4,4km)。假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上。设M(x1,0)，则0对满足式的m、k恒成立。，(4x1,4km)，由0，得4x1x30，整理，得(4x14)x4x130。式对满足式的m，k恒成立，解得x11。存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M。例2.如图所示，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x22py(p0)上（I）求抛物线E的方程；（II）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y1相交于点Q，证
3、明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点【答案】解：（I）依题意，|OB|8，BOy30。设B(x，y)，则x|OB|sin304，y|OB|cos3012。因为点B(4，12)在x22py上，所以(4)22p12，解得p2。故抛物线E的方程为x24y。（II）由（I）知yx2，yx。设P(x0，y0)，则x00，且l的方程为yy0x0(xx0)，即yx0xx。由得。所以Q。假设以PQ为直径的圆恒过定点M，由图形的对称性知M必在y轴上，设M(0，y1)，令0对满足y0x(x00)的x0，y0恒成立。由(x0，y0y1)， 由于0，得y0y0y1y1y0，即(yy12)(1y1)y00(*)。由于(*
4、)式对满足y0x(x00)的y0恒成立，所以，解得y11。故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)。3.已知抛物线C的方程为y2=2px（p0），直线：x+y=m与x轴的交点在抛物线C准线的右侧（）求证：直线与抛物线C恒有两个不同交点；（）已知定点A（1，0），若直线与抛物线C的交点为Q，R，满足，是否存在实数m，使得原点O到直线的距离不大于，若存在，求出正实数p的取值范围；若不存在，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质.专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）联立x+y=m与y2=2px，证明0，即可得到直线l与抛物线C恒有两个不同交点； （）根据，结合
5、韦达定理，求出p的表达式，利用原点O到直线l的距离不大于，确定m的范围，由此可得正实数p的取值范围解答：（）证明：由题知，联立x+y=m与y2=2px，消去x可得y2+2py2pm=0（*）p0且，=4p2+8pm0，所以直线l与抛物线C恒有两个不同交点； 4分（）解：设Q（x1，y1），R（x2，y2），由（*）可得y1+y2=2p，y1y2=2pm故=2y1y2+（1m）（y1+y2）+（m1）2=m2（2+2p）m+12p=0又由原点O到直线l的距离不大于，则有，由（）有，即，结合，化简该不等式得：5m2+2m+10，恒成立，令t=m+1，则而函数在上单调递减，存在m且，实数p的取值范围
6、为10分4.已知椭圆与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，原点O到直线AB的距离为，该椭圆的离心率为（1）求椭圆的方程；（2）是否存在过点的直线与椭圆交于M，N两个不同的点，且对外任意一点Q，有成立？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由。解：（）由题意得，直线的方程为（1分）由及，得（3分）所以椭圆的方程为（4分）（）， （6分）当直线的斜率不存在时，易知符合条件，此时直线的方程为（8分）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入得由，解得设，则， ， （10分）由得 由消去，得，即，无解综上存在符合条件的直线（12分）5.已知椭圆的中心是坐标原点，焦点在轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的
7、两个端点恰为一个正方形的顶点过右焦点与轴不垂直的直线交椭圆于，两点 （）求椭圆的方程；（）在线段上是否存在点,使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（）因为椭圆的短轴长：， 又因为两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，所以：；故椭圆的方程为：4分（）（1）若与轴重合时，显然与原点重合，； （2）若直线的斜率，则可设，设则： 所以化简得：； 的中点横坐标为：，代入可得： 的中点为， 由于得到 所以： 综合（1）（2）得到： 14分6.设椭圆的离心率为,点是椭圆上的一点,且点到椭圆两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆的方程；(2)椭圆上一动点，关于直线的对称点为,求的取值范
8、围.解:(1)依题意知, 2分 ,. 4分所求椭圆的方程为. 6分（2） 点关于直线的对称点为， 8分解得：，. 10分. 12 点在椭圆:上, 则. 的取值范围为. 13分 7. 已知抛物线的焦点以及椭圆的上、下焦点及左、右顶点均在圆上（1）求抛物线和椭圆的标准方程；（2）过点的直线交抛物线于两不同点，交轴于点，已知，则是否为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由解：（1）解：（1）由抛物线的焦点在圆上得：，抛物线 3分同理由椭圆的上、下焦点及左、右顶点均在圆上可解得：得椭圆 6分（2）是定值，且定值为1设直线的方程为，则联立方程组，消去得：且 9分由得：整理得： 14分8. 已知椭圆的离心
9、率为，且椭圆上一点与两个焦点构成的三角形的周长为. （I）求椭圆的方程；（II）设过椭圆右焦点的动直线与椭圆交于两点，试问：在轴上是否存在定点，使成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由（I）由题意知：，且解得：进而 椭圆的方程为（II）易求得右焦点,假设在轴上存在点（为常数），使当直线的斜率不存在时，则，此时,解得或.当直线的斜率存在时，设，联立方程组，消去整理得设，则 当即时，为定值：由可知，在轴上存在定点，使成立9. 设椭圆C：+=1（ab0）过点M（1，1），离心率e=，O为坐标原点（I）求椭圆C的方程（）若直线l是圆O：x2+y2=1的任意一条切线，且直线l与椭圆C相交于A，
10、B两点，求证：为定值解：（）由题意可得，解得，椭圆C的方程为（）当圆O的切线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，则圆心O到直线l的距离，1+k2=m2将直线l的方程和椭圆C的方程联立，得到（1+3k2）x2+6kmx+3m24=0设直线l与椭圆C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则，=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，当圆的切线l的斜率不存在时，验证得综合上述可得，为定值010.已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切（）求椭圆的方程；（）设，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点；解：（）由题
11、意知， 所以即又因为，所以，故椭圆的方程为4分（）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为由 得 6分设点，则直线的方程为令，得将，代入，整理，得 由得 ，代入整理，得所以直线与轴相交于定点11. 已知椭圆的离心率为，定点，椭圆短轴的端点是，且.（1）求椭圆的方程；(2）设过点且斜率不为的任意直线交椭圆于，两点.试问轴上是否存在定点，使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.（1）解：由 ， 得 . 依题意是等腰直角三角形，从而，故. 所以椭圆的方程是. 5分（2）解：设，直线的方程为. 将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得 . 所以 ，. 若平分，则直线，的倾斜角互补，所以.设，则有 .将 ，代入上式，整理得 ，所以 . 将 ，代入上式，整理得 . 由于上式对任意实数都成立，所以 . 综上，存在定点，使平分. 12分12.已知椭圆C的方程为左、右焦点分别为F1、F2，焦距为4，点M是椭圆C上一点，满足（）求椭圆C的方程；（）过点P（0，2）分别作直线PA，PB交椭圆C于A，B两点，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：直线AB过定点，并求出直线AB的斜率k的取值范围。（）在 中,设,由余弦定理得，即，即，得.
