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1、有理数有理数 1 知识结构图 本章的主要内容可以概括为有理数的概念概念与有理数的运算运算两部分 有理数的概念可以利用数轴来认识 理解 同时 利用数轴又可以把这些概念串在一起 有理数的运算是全章的重点运算是全章的重点 在运算时 要注意注意四个方面 一是 运算法则 二是运算律 三是运算顺序 四是近似计算 二 知识要点 1 正数 大于零的数 负数 小于零的数 在正数前面加上负号 的数 注意 0 既不是正数也不是负数 它是正负数的分界点 对于正数和负数 不能简单理解为带 号的数是正数 带 号的数是负数 正数和负数可以表示两种具有相反意义的量 2 有理数的分类 按定义分按定义分 按性质符号分按性质符号分
2、 负分数 如 如正分数 分数 负整数 如 自然数 正整数 如 整数 有理数 506 0 529 0 7 1 3 0 238 0 11 7 2 1 0 3 2 1 负分数 负整数 负有理数 正分数 正整数 正有理数 0 注意 两种分类方法不同 但都包含了所有的有理数 零既不是正数也不是负数 但它是整数 常见的 不是有理数的数有 和有规律的但不循环的小数 如 0 0100100010001000010000010000001 3 数轴及有理数的大小比较 有 理 数 要点 画数轴时 要注意数轴的三要素 原点 正方向 单位长度 所有的有理数都可以用数轴上的一个点表示 但数轴上还有些点不代表有理数 如
3、数轴上右边点表示的数总比左边点表示的数大 即 负数小于0 0小于正数 负数小于正数 两个负数比较大小 绝对值大的反而小 例 1 2 4 相反数 数轴上在两侧且到的距离相等的两个点表示的两个数互为相反数相反数 几何定义 只有符号不同的两个数互为相反数相反数 代数定义 0 的相反数是 0 a 的相反数是 求一个数的相反数就是在这个数前添 号后再化简 5 倒数 乘积等于1的两个数互为倒数 如 a a 0 的倒数是 a 1 6 绝对值 数轴上表示一个数的点到原点的叫这个数的绝对值绝对值 绝对值具有非负性 即 a 0 互为相反数的两个数的绝对值 若表示两个非负数的式子和为 0 或这两个式子互为相反数 则
4、这两个式子都等于 即非负条件式 如 若 x 3 2 x y 7 0 求 yx的值 数轴上两点间的距离就是表示这两个点的数的差的绝对值 表示数a的点A与表示数b的点B之间的距离 AB a b 或AB b a 与表示数m的点的距离为a a 0 的点有两个 表示的数是m m a a 去绝对值的 3 条依据 正数的绝对值是它本身 0 的绝对值是 0 负数的绝对值是它的相反数 可用字母 a 表示如下 0 0 0 0 aa a aa a 7 有理数的运算 加法法则 同号两数相加 取与加数相同的符号 并把绝对值相加 如 5 6 11 5 6 11 异号两数相加 绝对值相等时 和为0 绝对值不等时 取绝对值较
5、大的加数的符号 并用较大的绝对值 减去较小的绝对值 如 5 5 0 5 6 1 5 6 1 一个数与零相加 仍得这个数 如 5 0 5 5 0 5 注意 做有理数的加法要经过两个步骤 定 定 减法法则 减去一个数 等于加上这个数的相反数 如 5 6 5 6 5 6 5 6 有理数加减法可以互化 主要表现为省略加号的写法 如 20 3 5 7 可写成的形式 它读作 的和或 乘法法则 两数相乘 同号得正 异号得负 并把绝对值相乘 如 5 6 30 5 6 30 5 6 30 5 6 30 任何数与零相乘得零 如 5 0 0 0 6 0 除法法则 两数相除 同号得正 异号得负 并把绝对值相除 如 9
6、 3 3 9 3 3 9 3 3 9 3 3 特别的 零除以一个不为零的数仍得零 零不能做除数 如 0 5 0 0 5 0 除法法则还可以理解为 除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数 如 2 3 9 7 3 2 9 7 几个非 0 因数相乘除 积的符号由负因数的个数决定 有奇数个负因数 则积为负 偶数个负因数 则积 为正 若几个因数相乘 其中一个因数为 0 则结果等于 0 注意 有理数的乘除法仍与加减法类似应先定 再定 会灵活应用乘法运算律简便运算 分配律 结合律 交换律 有理数的乘方 乘方是求几个因式的积的运算 公式 其中 a 叫 n 叫 an叫 当 n 1时 省略不写 个n n aaaa
7、a 注意 正数的任何次幂都是正数 0的任何次幂都是0 负数的奇次幂是负数 负数的偶次幂是正数 即 当 a 0 时 an0 当 a 0 时 a2n0 或 a2n 10 当 a 为一切有理数时 a2n0 即 a2n 是数 其中 n 是正整数 有理数的混合运算顺序 先乘方 再乘除 后加减 同级运算从左到右进行 如果有括号 先做括号里的运算 一般情况下按小括 号 中括号 大括号的次序进行 8 特殊数字知识点 相反数是本身的数是 0 绝对值是本身的数是零和正数 绝对值是相反数的数是零和负数 倒数是本身的 数 是 1 1 平方等于本身的数是 0 1 立方等于本身的数是 0 1 1 平方等于相反数的数是 0
8、 1 立方等于相反数的数是 0 奇数次幂等于本身的数是 0 1 偶数次幂等于本身的数是 0 1 任何正整数 次幂都等于本身的数是 0 1 9 科学记数法 近似数与有效数字 一般地一个绝对值大于或等于10的数 都可以记成 a 10n的形式 其中1 a 10 n 等于原数的整数 位数减1 这种记数方法 在科学技术方面是常用的 习惯上把它叫做科学记数法 如 1300000000 1 3 109 近似数 与实际接近的数 精确度表示近似数与准确数的接近程度 判断一个近似数的精确度就是看这个 数的最位数字在什么数位上就说精确到哪一位 对于带记数单位的近似数的精确度应看单位前的数 字最末一位在还原后的数的哪
9、一位上 科学记数法也看 a 中的最末一位在还原后的数的哪一位上就是精 确 到哪一位 按要求取近似值就是将要求精确到的数位后一位四舍五入 对于要求精确到的数位比个位高 时 应先化为科学记数法再取近似值 如 35780000 精确到百万位 应为 35780000 3 578 107 3 6 107 有效数字 从左边第一个不是 0 的数字起到精确到的那一位止 所有的数字都叫做这个数的有效数字 科学记数法的近似数看 a 中的有效数字 带数量单位的近似数只看单位前的数的有效数字 如 0 01234 精确到十万分位 有四个有效数字 为 1 2 3 4 2 60万 精确到百位 有三个有效数字 为 2 6 0
10、 7 8 105 精确到万位 有两个有效数字 为 7 8 误差 近似值 准确值 有理数有理数 考点透析考点透析 考点考点 1 有关有理数的概念 有关有理数的概念 例 1 1 如果收入 100 元记作 100 元 那么支出 50 元记作 元 2 今年我市二月份的最低气温为 5 最高气温为 13 那么这一天的最高气温比最低气温高 18 B 18 13 5 3 下列各数中 负数是 A 3 B 3 C 3 2 D 3 3 评注 评注 解此类问题的关键是要弄清有理数的分类以及各类数的概念和本质特征 不要被其外形所迷惑 尤 其注意带负号的数不一定是负数 考点考点 2 数轴 相反数 倒数 数轴 相反数 倒数
11、 例 2 1 如图所示的图形为四位同学画的数轴 其中正确的是 2 的倒数是 3 1 A 3 B 3 C D 3 1 3 1 3 若 a 与 4 互为相反数 则 a 如果 a 13 那么 a 5 的相反数是 8 的相反数是 6 a 的相反数是 4 已知 a b 互为相反数 c d 互为倒数 x 的绝对值等于 1 求 a b x2 cdx 的值 解析 考查相反数 倒数与绝对值的概念 由已知易得 a b 0 cd 1 又由 x 1 可知 x 1 当 x 1 时 原式 0 12 1 1 0 当 x 1 时 原式 0 1 2 1 1 2 所以 a b x2 cdx 的值是 0 或 2 评注 评注 1 求
12、一个数的相反数 关键要准确掌握相反数概念 只有符号不同的两个数称之为互为相反数 若 a b 互为相反数 则 a b 0 2 求一个数的倒数 关键要弄清倒数的概念 乘积为 1 的两个数称之为互 为倒数 若 a b 互为倒数 则 ab 1 考点考点 3 有关绝对值的运算 有关绝对值的运算 例 3 1 8 的值是 2 已知 a 1 5 则 a 的值是 A 6 B 4 C 6 或 4 D 6 或 4 3 已知 x 2 2与 y 3 互为相反数 则 yx 4 如果 则 3 a 3 a 3 a 评注 评注 1 绝对值是指表示这个数的点与原点的距离 也就是说 a 是非负数 即 a 0 2 绝对值 等于一个正
13、数的数有两个 它们互为相反数 3 若几个数的绝对值的和等于 0 则每个数都等于 0 考点考点 4 有关有理数大小的比较 有关有理数大小的比较 例 4 1 在 1 1 2 这 3 个数中 任意两数之和的最大数是 A 1 B 0 C 1 D 3 2 实数 a b 在数轴上表示如图 下列判断正确的是 A a 1 C b 1 D b 0 负数 两个负数比较大小 绝对值大的反而小 2 数轴上表示的两个数 右边的总比左边的大 考点考点 5 有关有理数的运算 有关有理数的运算 先定符号 再计算 例 5 1 计算 2 3 的结果是 A 5 B 5 C 1 D 1 2 计算 4 的结果是 2 1 0a 1b A
14、 8 B 8 C 2 D 2 3 4 2 1 例 6 1 计算 100 20 3 2 计算 9 5 6 4 2 8 3 33 2 52 22的平方是 2 1 4 有理数的运算 5 3 3 4 1 2 2 3 2 3 2 3 22 2517 1 24 5 138612 2310 11 0 25 0 5 1 82 22222 1 0 27 16 4 1 2 42 2 1 5 0 补充1 某学习小组的数学成绩 采用了80分为标准的办法 高于80分的记为正 低于80分的记为负 现有10 名学生的成绩记录如下 20 10 5 15 9 3 10 8 4 16求这10名同学的平均成绩 解 方法一 解 方法
15、一 先求出这10名同学的实际得分 100 70 75 95 89 77 90 88 84 66 平均成绩 100 70 75 95 89 77 90 88 84 66 83 2 10 1 方法二 方法二 平均成绩 80 20 10 5 15 9 3 10 8 4 16 83 2 10 1 补充2 已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍 且在数轴上表示为这两数的点位于原点的两侧 两点间的距 离为8 求这两个数 解 解 设乙数为 a 则甲数为 3a a 3a 8 a 2 a 2 甲数为6 乙数为 2 甲数为 6 乙数为2 评注 评注 对于有理数运算总结如下口诀 加法运算要熟练 减法运算会转换 乘除要把
16、符号判 运算顺序 严把关 运算定律须灵变 考点考点 6 有关科学记数法 近似数与有效数字 有关科学记数法 近似数与有效数字 例 7 1 41080000 用科学记数法表示为 A B C D 7 4 108 10 6 41 08 10 5 410 8 10 8 4108 10 2 近似数 0 4062 精确到 有个有效数字 3 近似数 3 5 万精确到位 有个有效数字 5 47 105精确到位 有个有效数字 4 3 4030 105保留两个有效数字是 精确到千位是 5 某数有四舍五入得到 3 240 那么原来的数一定介于和之间 6 2003 年我国国内生产总值 GDP 为 116694 亿元 用四舍五入法保留 3 个有效数字 用科学记 数法表示为亿元 将 207 670 保留 3 个有效数字 其近似数为 考点考点 7 考查非负数的性质 考查非负数的性质 例 8 若有理数 a b 满足 3a 1 b 2 2 0 则 ab的值为 析解 析解 由绝对值及平方的非负特征 可知 3a 1 0 b 2 2 0 又 3a 1 b 2 2 0 故只能有 3a 1 0 b 2 2 0 所以 a b 2 a
