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1、 可口可乐罐头为什么是这种样子 可口可乐 雪碧 健力宝等销量极大的饮料罐 易拉罐 1 顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比为多少 为什么 2 它们的形状为什么是这样的 用铁皮做成一个容积一定的圆柱形的无盖 或有盖 容器 问 应当如何设计 才能使用料最省 这时圆柱的直径和高之比为多少 用几何语言来表述就是 体积给定的圆柱体 其表面积最小的尺寸 半径和高 为多少 设 表面积用S表示 体积用V表示 则有 找一个可口可乐饮料罐具体测量一下 它顶盖的直径和从顶盖到底部的高 约为6厘米和12厘米 中间胖的部分的直径约为6 6厘米 胖的部分高约为10 2厘米 可口可乐饮料罐上标明净含量为355毫升 即355立方
2、厘米 怎样测量比较简捷 用一条窄的薄纸条 绕饮料罐相关部分一圈测得周长 再换算得半径和直径 简化模型分析和假设 首先把饮料罐近似看成一个正圆柱是有一定合理性的 要求饮料罐内体积一定时 求能使易拉罐制作所用的材料最省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比 实际上 饮料罐的形状是如右平面图形绕其中轴线旋转而成的立体 用手摸一下顶盖就能感觉到它的硬度要比其他的材料要硬 厚 因为要使劲拉 假设除易拉罐的顶盖外 罐的厚度相同 记作 顶盖的厚度为 想象一下 硬度体现在同样材料的厚度上 有人测量过 顶盖厚度大约是其他部分的材料厚度的3倍 因此 我们可以进行如下的数学建模 这时必须考虑所用材料的体积 明确变量和参
3、数 设饮料罐的半径为r 因此 直径为d 2r 罐的高为h 罐内体积为V b为除顶盖外的材料的厚度 其中r h是自变量 所用材料的体积SV是因变量 而b和V是固定参数 是待定参数 饮料罐侧面所用材料的体积为 饮料罐顶盖所用材料的体积为 饮料罐底部所用材料的体积为 所以 SV和V分别为 因为 所以带 的项可以忽略 极其重要的合理假设或简化 因此 记 于是我们可以建立以下的数学模型 其中S是目标函数 是约束条件 V是已知的 即罐内体积一定 即要在体积一定的条件下 求罐的体积最小的r h和 使得r h和测量结果吻合 这是一个求条件极值的问题 模型的求解 一种解法 从约束中解出一个变量 化条件极值问题为
4、求一元函数的无条件极值问题 从 解出 代入S 使原问题化为 求d h使S最小 即 求r使 最小 求临界点 令其导数为零得 解得临界点为 因此 测量数据为h r 2 即 即顶盖的厚度是其他材料厚度的3倍 为验证这个r确实使S达到极小 计算S的二阶导数 所以 这个r确实使S达到局部极小 因为临界点只有一个 因此也是全局极小 求 极小的初等方法 是应用算术几何平均值不等式 当且仅当 时等号成立 令 于是有 当且仅当 时等号成立 即 结果相同 模型另一种解法 Lagrange乘子法 增加一个变量化条件极值问题为多元函数无条件极值问题 引入参数 令 求临界点 从第2 3式解得 代入第1式 得 和前面的结
5、果相同 同学们可能会觉得这个方法不如前一个方法简单 但是当你们做习题时你们就会体会到Lagrange乘数法的优点 以及进一步体会到使用数学软件的重要性和必要性 验证和进一步的分析 测量过顶盖的厚度 确实为其他材料厚度的3倍 如果易拉罐的半径为3厘米 则其体积为 即装不下那么多饮料 为什么 模型到底对不对 按照 V 365立方厘米 可以算得r 3 074厘米 下面只是一种可能的考虑 粗略的计算 可以把饮料罐的体积看成两部分 一是 上底半径为3厘米 下底半径为3 3厘米 高为1厘米的锥台 二是 半径为3 3厘米 高为10 2厘米的圆柱体 它们的体积分别为31 2立方厘米和349立方厘米总共为380
6、 2立方厘米 我们再来通过测量重量或容积来验证 怎么测量 我们可以认为1立方厘米的水和饮料的重量都是1克 测量结果为 未打开罐时饮料罐的重量为370克 倒出来的可乐确实重355克 空的饮料罐重量为15克 装满水的饮料罐重量为380克 这和我们的近似计算380 2立方厘米十分接近 饮料罐不能装满饮料 而是留有10立方厘米的空间余量 更有意思的是 计算饮料罐的胖的部分的直径和高的比为6 6 10 2 0 647 非常接近黄金分割比0 618 这是巧合吗 还是这样的比例看起来最舒服 最美 此外 诸如底部的形状 上拱的底面 顶盖实际上也不是平面的 略有上拱 顶盖实际上是半径为3 0 4 0 2 3 6
7、平方厘米的材料冲压而成的 从顶盖到胖的部分的斜率为0 3 这些要求也许保证了和饮料罐的薄的部分的焊接 粘合 很牢固 耐压 所有这些都是物理 力学 工程或材料方面的要求 必须要有有关方面的实际工作者或专家来确定 因此 我们可以体会到真正用数学建模的方法来进行设计是很复杂的过程 只依靠数学知识是不够的 必须和实际工作者的经验紧密结合 考虑实际所用材料的模型 实际上 顶盖的半径为r 0 6厘米 而正圆柱的高为h 0 6厘米 因此 问题化为 当V固定时 求d h使S最小 我们从约束中解出一个变量 化条件极值问题为求一元函数的无条件极值问题 即 这时 我们发现尽管三次方程求根有公式 但是很繁琐 而且最终
8、还是要数值求解 还不如直接把数值代入 用数学软件 例如 Mathematica Matlab 来求数值解 由于V 365立方厘米 即 r 2 9 所以 h d 2 4 高是直径的2 4倍 这个结果合理吗 为什么 还可以从其他角度来考虑各种各样罐的数学建模 可以参看有关的阅读材料 建议 1 同学们到市场 超市等 调查各种罐 杯的尺寸 2 回答它们的设计是否都用到了优化设计 实际上 这类问题是数学中著名的等周问题的推广或扩充的一些特例 同学们可以阅读本教学单元所附的等周问题阅读材料 或其他参考资料 如果正圆柱形饮料罐上底的厚度为其它部分厚度的3倍 饮料罐的总面积固定 求能够使其体积最大的饮料罐的直径和高之比 习题 2 试证明 周长相等的矩形中 正方形的面积最大 试证明 表面积相等的长方体中 正方体的体积最大 4 在正圆柱形饮料罐的最优设计中 你有没有发现什么规律性的事实 5 正椭圆柱形状的饮料罐的设计 求长轴为短轴K倍的正椭圆柱体积一定时能使其表面积最小的短轴和高的比 提示
