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1、. . . .平面向量试题（一）一、选择题（每小题5分，共60分）1.如图,已知=a, =b, =c, =d,且四边形ABCD为平行四边形,则()A.a+b+c+d=0B.a-b+c-d=0C.a+b-c+d=0D.a-b-c+d=02.若M是ABC的重心,则下列各向量中与共线的是()A. +B. +C. +D.3+3.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于()A.- a+bB. a-bC. a-bD.- a+b4.设点A(-1,2),B(2,3),C(3,-1),且=2-3,则点D的坐标为()A.(2,16)B.(-2,-16)C.(4,16)D.(2,0)5.在
2、ABC中,( +)=|2,则ABC的形状一定是()A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形6.在ABC中,AB=4,ABC=30,D是边BC上的一点,且=,则的值等于()A.-4B.0C.4D.87.已知|a|=1,|b|=,且a(a-b),则向量a与向量b的夹角是()A.30B.45C.90D.1358.已知平面上直线l的方向向量e=-,点O(0,0)和A(1,-2)在l上的射影分别是O和A,则=e,其中等于()A.B.-C.2D.-29.P为正六边形ABCDEF所在平面内一点,O为正六边形的中心,则+等于()A.B.3C.6D.010.已知向量x与向量a=,b=,-的夹
3、角相等,且|x|=1,则x=()A.,-B.,-C.,-或-,D.,-或-,11.已知ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P,且+=,则点P与ABC的位置关系是()A.P在ABC内部 B.P在ABC外部C.P在AB边上或其延长线上 D.P在AC边上12.已知平面向量a,b,c满足|a|=1,|b|=2,|c|=3,且a,b,c两两所成的角相等,则|a+b+c|等于()A.6或B.6或C.D.6二、填空题（每小题4分，共20分）13.l1、l2是不共线的向量,且a=-l1+3l2,b=4l1+2l2,c=-3l1+12l2,若b、c为一组基底,则向量a=_.14.若三点A(2,2),B(a,0
4、),C(0,b)(ab0)共线,则+的值等于_.15.已知e1=(2,1),e2=(2,-1),点P的坐标(x,y)满足方程-y2=1,若=ae1+be2(a,bR,O为坐标原点),则a,b满足的一个等式是_.16.已知+=0,| |=|=|=1,则、两两的夹角是_.17.若两个向量a与b的夹角为,则称向量“ab”为“向量积”,其长度|ab|=|a|b|sin ,若已知|a|=1,|b|=5,ab=-4,则|ab|=_.三、解答题（共70分）18. （10分）如下图,在平行四边形OADB中,设=a, =b, =,=.试用a,b表示,及.19. （12分）在四边形ABCD中, =(6,1), =
5、(x,y), =(-2,-3),.(1)求x与y的关系式;(2)若,求x、y的值以及四边形ABCD的面积.20. （12分）已知a=-,=a-b, =a+b,若AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形,求向量b.21. （12分）已知向量a=(-3,2),b=(2,1),c=(3,-1),tR.(1)求|a+tb|的最小值及相应的t值;(2)若a-tb与c共线,求实数t.22. （12分）如下图,在ABC中,点D和E分别在边BC与AC上,且BD=BC,CE=CA,AD与BE交于点R,用向量法证明:RD=AD,RE=BE.23. （12分）在平面直角坐标系中,A(1,t),C(-2t,2), =+
6、 (O是坐标原点),其中t(0,+).(1)求B点坐标;(2)求四边形OABC在第一象限部分的面积S(t).平面向量试题（一）答案：一、选择题（每小题5分，共60分）1.答案B解析+=0,-+-=0,即a-b+c-d=0.2.答案C解析由题意知+=0,0,C正确,故选C.(注意利用结论:在ABC中,对ABC的重心M有+=0)3.答案B解析设c=xa+yb,a=(1,1),b=(1,-1),c=(x+y,x-y).又c=(-1,2),解得c=a-b.故选B.4.答案A解析设D(x,y),由题意可知=(x+1,y-2), =(3,1), =(1,-4),2-3=2(3,1)-3(1,-4)=(3,
7、14),故选A.5.答案C解析由(+)=|2,得(+-)=0,即(+)=0,2=0,A=90.故选C.6.答案C解析=,(-)=0,=0,即ADBC,ADB=90,在RtADB中,ABD=30,AD=AB=2,BAD=60,=|cos 60=24=4.7.答案B解析由a(a-b),得a(a-b)=0,即a2-ab=0,ab=a2.设向量a与向量b的夹角为,则cos =.又0180,=45.8.答案D解析由题意可知|=|cos(-)(为与e的夹角).O(0,0),A(1,-2),=(1,-2).e=-,e=1-+(-2)=-2=|e|cos ,|cos =-2.又|=|e|,=2.又由已知可得0
8、,=-2,故选D.9.答案C解析由题意可知+=,+=,+=,+=,+=,+=.在正六边形ABCDEF中,O为中心,故+=0, +=0, +=0,+=6.故选C.10.答案D解析(代入验证法)四个选项中的向量的模均为1,且|a|=|b|,则有ax=bx,代入验证,知D中两个向量均符合.11.答案D解析+=,+=-,=-2,即向量与共线,P,A,C三点共线,且点P在AC边上.12.答案A解析a,b,c两两所成的角相等,这个角为0或120.当夹角为0时,|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=1+2+3=6,排除C;当夹角为120时,ab=|a|b|cos 120=12-=-1,bc=|b|c|co
9、s 120=23-=-3,ca=|c|a|cos 120=31-=-,|a+b+c|2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=12+22+32+2-1-3-=3,|a+b+c|=.|a+b+c|=6或.二、填空题（每小题4分，共20分）13.答案-b+c解析设a=xb+yc,由题意可知-l1+3l2=x(4l1+2l2)+y(-3l1+12l2).整理得-l1+3l2=(4x-3y)l1+(2x+12y)l2.由平面向量基本定理得解得a=-b+c.14.答案解析A(2,2),B(a,0),C(0,b),=(a-2,-2), =(-a,b),又与共线,b(a-2)-(-2)(-a)=0,即b
10、(a-2)-2a=0,b=,取倒数得: =-,+=.15.答案4ab=1解析e1=(2,1),e2=(2,-1),=ae1+be2=a(2,1)+b(2,-1)=(2a,a)+(2b,-b)=(2a+2b,a-b).点P的坐标为(x,y),=(x,y),即x,y满足方程-y2=1,-(a-b)2=1,化简可得4ab=1,此即为a,b满足的一个等式.16.答案120解析由+=0,得=-(+).=-(+)2.整理得|2=|2+2+|2.|=|=|=1,=-,cos=-,=120.同理,=120,=120.17.答案3解析由|a|=1,|b|=5,ab=-4得cos =-,又0,所以sin =.由此
11、可得|ab|=15=3.三、解答题（共70分）18. 解析由题意知,在平行四边形OADB中, = (-)= (a-b)= a-b,则=+=b+a-b=a+b,= (+)= (a+b),则=-= (a+b)- a-b=a-b.19. 解析如下图.(1)=+=(x+4,y-2),=-=(-x-4,2-y).又,=(x,y),x(2-y)-(-x-4)y=0,即x+2y=0.(2)由于=+=(x+6,y+1), =+=(x-2,y-3).,=0,即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0,y2-2y-3=0,y=3或y=-1.当y=3时,x=-6,于是=(-6,3), =(0,4), =(-8
12、,0).|=4,| |=8,S四边形ABCD=|=16.当y=-1时,x=2,于是有=(2,-1), =(8,0), =(0,-4).|=8,| |=4,S四边形ABCD=16.综上可知或S四边形ABCD=16.20. 解析设向量b=(x,y),依题意知=0,| |=|,则(a-b)(a+b)=0,|a-b|=|a+b|,所以|a|=|b|=1,ab=0.所以向量b是与向量a垂直的单位向量,则解得b=,或b=-,-.21. 解析(1)a=(-3,2),b=(2,1),c=(3,-1),a+tb=(-3,2)+t(2,1)=(-3+2t,2+t),|a+tb|=,当且仅当t=时取等号,即|a+t
13、b|的最小值为,此时t=.(2)a-tb=(-3,2)-t(2,1)=(-3-2t,2-t),又a-tb与c共线,c=(3,-1),(-3-2t)(-1)-(2-t)3=0.解之可得t=.22. 解析由A、R、D三点共线,可设=+(1-) =+(1-) (R).由B、R、E三点共线,可设=+(1-) =+ (R).根据平面向量基本定理得解得=+= (-)+ (-)=-.=-,即=,即=,同理: =.RD=AD,RE=BE.23. 解析(1)=+,四边形OABC为平行四边形.又易知=0,即OAOC,四边形OABC为矩形.=+=(1-2t,2+t),B(1-2t,2+t).(2)当1-2t0,即0t时,A在第一象限;B在第一象限,C在第二象限,如图a,此时BC的方程为y-2=t(x+2t),
