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1、第六章第六章 勒让德多项式勒让德多项式 勒让德方程的引出勒让德方程的引出 勒让德方程的求解勒让德方程的求解 勒让德多项式勒让德多项式 函数展开成勒让德多项式的级数函数展开成勒让德多项式的级数 6 1 6 1 勒让德方程的引出勒让德方程的引出 6 1 6 1 勒让德方程的引出勒让德方程的引出 在球坐标系下 Laplace方程的表达式为 令 代入上式得 用 遍乘各项并移项整理 即得 6 1 勒让德方程的引出勒让德方程的引出 引入参数 分解整理得 欧拉型方程 球函数方程 欧拉方程通解 为任意常数 6 1 勒让德方程的引出勒让德方程的引出 求函数方程两端同时乘以并移项得 引入参数 分解可得两个常微分方
2、程 6 1 勒让德方程的引出勒让德方程的引出 6 1 勒让德方程的引出勒让德方程的引出 第一个方程与自然周期条件 结合 构成本征值问题 解之可确定本征值 和相应的本征函数 6 1 勒让德方程的引出勒让德方程的引出 第二个方程为 连带的勒让德方程 令 并记 勒让德方程 m 0时 6 1 勒让德方程的引出勒让德方程的引出 6 2 6 2 勒让德方程的求解勒让德方程的求解 6 2 勒让德方程的求解 考虑勒让德方程 将其代入勒让德方程 得 令 整理 比较可得 c 0时 6 2 勒让德方程的求解勒让德方程的求解 依此可得 递推公式 6 2 勒让德方程的求解勒让德方程的求解 其中 6 2 勒让德方程的求解
3、勒让德方程的求解 6 6 3 3 勒让德多项式勒让德多项式 6 3 勒让德多项式勒让德多项式 可以将其它系数一一推算出来 即 取 将6 2中的递推公式写成 有 6 3 勒让德多项式勒让德多项式 一般地当时 有 当n为正偶数时 将这些系数代入到中得到 6 3 勒让德多项式勒让德多项式 n为正奇数时 将这些系数代入到 中得到 这两个多项式可以统一写成 n 阶勒让德多项式 6 3 勒让德多项式勒让德多项式 0 4阶Legendre多项式为 勒让德多项式的微分表达式 多项式的Rodrigues表达式 6 3 勒让德多项式勒让德多项式 当为整数时 取 中总有一个是勒让德多项式 在 1 1 上有界 这时另
4、一个函数仍是无穷级数 记作 此时Legendre方程的通解为 称为第二类Legendre函数 它在 1 1 上 仍是无界的 6 3 勒让德多项式勒让德多项式 6 6 4 4 函数展开成勒让德多项式的级数函数展开成勒让德多项式的级数 1 勒让德多项式的正交性 称为勒让德多项式的模值 是一个正交的函数系 6 6 4 4 函数展开成函数展开成 勒让德多项式的级数勒让德多项式的级数 展开定理 设f x 为 1 1 上具有一阶连续导数 及分段连续的二阶导数 且f 1 1 f 1 1 则f x 可展开成 上式称为f x 的傅立叶 勒让德级数 简称F L级数 其中 6 6 4 4 函数展开成函数展开成 勒让
5、德多项式的级数勒让德多项式的级数 6 6 4 4 函数展开成勒让德多项式的级数函数展开成勒让德多项式的级数 例1 将函数f x x 在区间 1 1 内展成 勒让德多项式的级数 解 因f x 在区间 1 1 内是偶函数 而 是x的奇函数 故 下面计算 从而 6 6 4 4 函数展开成勒让德多项式的级数函数展开成勒让德多项式的级数 例 2 求证勒让德多项式的递推公式 已知时 反复利用上式可以推出任意阶当 勒让德多项式的表达式 6 6 4 4 函数展开成勒让德多项式的级数函数展开成勒让德多项式的级数 例3 球形域内的电位分布 在半径为1的球内求调和函数u 使其在球面上 满足 解 在球面坐标系 由于边
6、界条件不依赖于 所以u也不依赖于 6 6 4 4 函数展开成勒让德多项式的级数函数展开成勒让德多项式的级数 所提问题可化为下列边值问题 代入方程得 化简并引入参数 分解得到两个常微分方程 用分离变量法求解 令 6 6 4 4 函数展开成勒让德多项式的级数函数展开成勒让德多项式的级数 在第二个方程中 令 则有 勒让德方程 为保证函数 u 的有界性 n 只能取为整数 此时 是方程在自然边界条件 下的特征函数系 6 6 4 4 函数展开成勒让德多项式的级数函数展开成勒让德多项式的级数 R的方程 当 应保持有界 故 即 利用叠加原理 原问题的解可以表示为 为待定系数 需由边界条件确定 代入边界条件 的通解为 6 6 4 4 函数展开成勒让德多项式的级数函数展开成勒让德多项式的级数 用x代替 由 比较系数可得 因此所求定解问题的解为 6 4 4 函数展开成勒让德多项式的级数函数展开成勒让德多项式的级数
