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1、江西数学二次函数综合题1.定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y-x称为P点的“坐标差”，记作Zp，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”（1）点A（3，1）的“坐标差”为 -2；抛物线y=-x2+5x的“特征值”为 4；（2）某二次函数y=-x2+bx+c（c0）的“特征值”为-1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等直接写出m= -c；（用含c的式子表示）求此二次函数的表达式 （3）如图，在平面直角坐标系xOy中，点D（4，0），以OD为直径作M，直线y=x+b与M相交于点E、
2、F 比较点E、F的“坐标差”ZE、大小请直接写出M的“特征值”为 解：（1）1-3=-2故答案为：-2y-x=-x2+5x-x=-（x-2）2+4，-10，当x=2时，y-x取得最大值，最大值为4故答案为：4（2）当x=0时，y=-x2+bx+c=c，点C的坐标为（0，c）点B与点C的“坐标差”相等，0-m=c-0，m=-c故答案为：-c由可知：点B的坐标为（-c，0）将点B（-c，0）代入y=-x2+bx+c，得：0=-c2-bc+c，c1=1-b，c2=0（舍去）二次函数y=-x2+bx+c（c0）的“特征值”为-1，y-x=-x2+（b-1）x+1-b的最大值为-1，=-1，解得：b=3
3、，c=1-b=-2，二次函数的解析式为y=-x2+3x-2 （3）点E，F在直线y=x+b上， 设点E的坐标为（xE，xE+b），点F的坐标为（xF，xF+b），ZE=xE+b-xE=b，ZF=xF+b-xF=b，ZE=ZF作直线y=x+n（n0）与M相切，设切点为N，该直线与x轴交于点Q，如图所示y-x=x+n-x=n，当直线y=x+n（n0）与M相切时，y-x的值为M的“特征值”NQM=45，MNNQ，MN=2，MNQ为等腰直角三角形，MQ=22，点Q的坐标为（2-22，0）将Q（2-22，0）代入y=x+n，得：0=2-22+n，解得：n=22-2，M的“特征值”为22-2故答案为：22
4、-22.已知抛物线y=x2+bx3（b是常数）经过点A（1，0）（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P当点P落在该抛物线上时，求m的值；当点P落在第二象限内，PA2取得最小值时，求m的值解：（1）抛物线y=x2+bx3（b是常数）经过点A（1，0）0=1-b-3，解得b=-2，抛物线的解析式为y=x2-2x3y=x2-2x3=(x-1)2-4，顶点的坐标为（1，-4）.（2）由点P(m，t)在抛物线y=x2-2x3上，有P关于原点的对称点为P，有P（-m，-t），即，解得.由题意知，P（-m，-t）在第二象限，-m0，即m0，t0，可
5、知不符合题意，.3.已知二次函数y=-2x2+bx+c的图象经过点A（3，-4）与B（0，2）（1）求二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；（2）若xm时，y随x的增大而减小，求m的取值范围； （3）将抛物线在A、B之间（含A、B）的部分沿直线x=3翻折，翻折前后的图象记为图象F若直线y=mx+n过点C（9，4），且与图象F恰有两个交点，求n的取值范围解：（1）由题意，得，解得，二次函数的表达式为y=-2x2+4x+2=-2(x-1)2+4. 二次函数图象的顶点坐标为（1，4）. （2）由于抛物线开口向下，故在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而减小.而xm时，y随x的增大而减小，故直线x=m必在
6、对称轴x=1的右侧，即m1.（3）点B(0，2)关于直线x=3的对称点为B的坐标为（6，2）.若直线y=mx+n经过点C（9，4）和B（6，2），得n=-2；若直线y=mx+n经过点C（9，4）和A（3，-4），得n=-8.当直线y=mx+n与x轴平行，即经过图象F的最高点时，n=4.综上，-8n-2或n=4. 来源:学。科。网4.如图，抛物线L：y=（x1）（x+3）与x轴从左到右的交点为B，A，过线段OA的中点M作MPx轴，交双曲线y=（k0，x0）于点P，且OAMP=8（1）求k的值；（2）求AB长；（3）求抛物线L的对称轴与顶点坐标，并求直线MP与L对称轴之间的距离；（4）当抛物线向右
7、平移3个单位后，其顶点是否落在双曲线上，说明理由解：（1）设P（x，y）.M是线段OA的中点，OM=OA，OAMP=8，OMMP=4，xy=4，点P在双曲线上，k=xy=4；（2）令y=0，则0=（x1）（x+3），x=1或x=3，B（3，0），A（1，0），AB=4；（3）由（2）知，B（3，0），A（1，0），抛物线的对称轴为x=1，当x=1时，y=2，抛物线的顶点坐标为（1，2），M是OA的中点，A（1，0），M（，0），抛物线的对称轴为x=1，直线MP与L对称轴之间的距离为；（4）在双曲线上，理由：抛物线的顶点坐标为（1，2），当抛物线向右平移3个单位后，其顶点坐标为（2，2），来源:
8、Zxxk.Com把（2，2）代入双曲线的解析式为y=中，得出，左边=右边，（2，2）在双曲线上即：平移后抛物线的顶点落在双曲线上5.已知：抛物线：（为常数）.（）抛物线的顶点坐标（，）（用含的代数式表示）；（2）若抛物线L经过点M（2，1）且与y=图象交点的纵坐标为3，请在图1中画出抛物线L的简图，并求y=的函数表达式；来源:Z+xx+k.Com（3）如图2，矩形ABCD的四条边分别平行于坐标轴，AD=1，若抛物线L经过A，C两点，且矩形ABCD在其对称轴的左侧，则对角线AC的最小值是解：（1）（b，b23）（2）将M（2，1）代入抛物线的解析式得：4+4b3=1，解得：b=抛物线的解析式为y
9、=x2+x3抛物线L的大致图象如图1所示：将y=3代入y=x2+x3得：x2+x3=3，解得：x=2或x=3抛物线与反比例函数图象的交点坐标为（2，3）或（3，3）将（2，3）代入y=得：k=6，y=将（3，3）代入y=得：k=9，y=（3）设点A的坐标为（x，x22bx3），则点D的坐标为（x+1，x22bx3），C的坐标为（x+1，x2+（22b）x2b2）DC=（x22bx3）x2+（22b）x2b2=2x+2b1DC的长随x的增大而减小矩形ABCD在其对称轴的左侧，抛物线的对称轴为x=b，xb1当x=b1时，DC的长有最小值，DC的最小值=2（b1）+2b1=1AD的长度不变，当DC最
10、小时，AC有最小值AC的最小值=故答案为6.如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+2分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y=-x2+bx+c经过点A、B点P是x轴上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F设点P的横坐标为m（1）点A的坐标为 （4，0）（2）求这条抛物线所对应的函数表达式（3）点P在线段OA上时，若以B、E、F为顶点的三角形与FPA相似，求m的值（4）若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），称E、F、P三点为“共谐点”直接写出E、F、P三点成为“共谐点”时m的值来源:学科网ZXXK解：（1）在y=12x+2中，令y=0
11、，则x=4，A（4，0）；故答案为：（4，0）.（2）在y=12x+2中，令x=0，则y=2，B（0，2），把A（4，0），B（0，2）代入y=-x2+bx+c，得b=72，这条抛物线所对应的函数表达式为y=-x2+72x+2.（3）P（m，0），E（m，-m2+72m+2），F（m，-12m+2），BEF和APF相似，且BFE=AEP，BEP=APF=90或EBF=APF=90，当BEF=90时，则有BEPE，E点的纵坐标为2，-m2+72m+2=2，解得m=0（舍去）或m=72，如图1，当EBF=90时，过点E作ECy轴于点C，则EBC+BEC=90，EC=m，BC=-m2+72m+2-2
12、=-m2+72m，EBF=90，EBC+ABO=90，ABO=BEC，RtECBRtBOA，解得m=0（舍去）或m=32，解得m=72，综上所述，以B、E、F为顶点的三角形与FPA相似，m的值=32，72.（4）由（1）知，P（m，0），E（m，-m2+72m+2），F（m，-12m+2），E、F、P三点为“共谐点”，有F为线段PE的中点、P为线段FE的中点或E为线段PF的中点，当F为线段PE的中点时，则有2（-12m+2）=-m2+72m+2，解得m=4（三点重合，舍去）或m=12.当P为线段FE的中点时，则有-12m+2+（-m2+72m+2）=0，解得m=4（舍去）或m=-1；当E为线段
13、FP的中点时，则有-12m+2=2（-m2+72m+2），解得m=4（舍去）或m=-14；综上可知当E、F、P三点成为“共谐点”时m的值为-1或-14或127.九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践-应用-探究的过程：（1）实践：他们对一条公路上横截面的单向双车道的隧道（如图）进行测量，测得一隧道的路面宽为10m，隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图，建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式（2）应用：规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道在竖直方向上的高度差至少为0.5m，为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车的空隙）？（3）探究：该课题学习小组为进一步探抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了一下两个问题，请予解答：如图，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在抛物线上，顶点A、B落在x轴上设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值如图，过原点作一条y=x的直线OM，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P为直线0M上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q问在直线OM上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若
