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1、2019-2020学年吉林省吉林市普通中学度高三第二次调研测试数学(文)试题一、单选题1集合,则( )ABCD【答案】D【解析】先求出集合,再利用交集的运算即可求出【详解】因为,所以故选:D【点睛】本题主要考查集合的交集运算,属于基础题2是虚数单位,则( )ABCD【答案】A【解析】根据复数的运算,利用复数的除法,即可求解,得到答案.【详解】由题意,复数,故选A.【点睛】本题主要考查了复数的化简、运算,其中解答中熟记复数的基本运算法则,合理、准确运算是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.3如果一组数据的中位数比平均数小很多,则下列叙述一定错误的是( )A数据中可能有异常值B这组数
2、据是近似对称的C数据中可能有极端大的值D数据中众数可能和中位数相同【答案】B【解析】根据中位数、平均数、众数的定义说明【详解】中位数表示一组数据的一般水平,平均数表示一组数据的平均水平,如果这两者差不多,说明数据分布较均匀,也可以看作近似对称,但现在它们相关很大,说明其中有异常数据,有极端大的值,众数是出现次数最多的数,可能不止一个,当然可以和中位数相同,因此只有B错误故选:B【点睛】本题考查样本数据特征,掌握它们的概念是解题基础4“”的一个充分条件是( )A或B且C且 D或【答案】C【解析】对于或,不能保证成立,故不对;对于或,不能保证成立,故不对;对于且,由同向不等式相加的性质知,可以推出
3、,故正确;对于或,不能保证成立,故不对,故选C.5若,则( )ABCD【答案】B【解析】由,求得,再由,即可求出【详解】由,求得,而,所以故选:B【点睛】本题主要考查已知正切值,齐次式求值问题的解法以及二倍角公式的应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题6已知实数,满足线性约束条件,则的最小值为( )ABCD【答案】B【解析】首先画出可行域,然后结合目标函数的几何意义确定函数的最值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示,目标函数即:,其中z取得最小值时,其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小,据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值,联立直线方程:,可得点的坐标为
4、:,据此可知目标函数的最小值为:.故选B.【点睛】本题考查了线性规划的问题,关键是画出可行域并理解目标函数的几何意义,属于基础题.7对两个变量进行回归分析,给出如下一组样本数据:,下列函数模型中拟合较好的是( )ABCD【答案】D【解析】作出四个函数的图象及给出的四个点,观察这四个点在靠近哪个曲线【详解】如图,作出A,B,C,D中四个函数图象,同时描出题中的四个点,它们在曲线的两侧,与其他三个曲线都离得很远,因此D是正确选项,故选:D【点睛】本题考查回归分析,拟合曲线包含或靠近样本数据的点越多,说明拟合效果好8函数的最小值是( )AB1C0D不存在【答案】A【解析】先求出函数的定义域和导数,判
5、断出单调性,即可求出最小值【详解】函数的定义域为,所以函数在上递减,在上递增,故故选:A【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值,属于基础题9我国宋代数学家秦九韶(12021261)在数书九章(1247)一书中提出“三斜求积术”,即:以少广求之,以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实;一为从隅,开平方得积.其实质是根据三角形的三边长,求三角形面积,即.若的面积,则等于( )A5B9C或3D5或9【答案】C【解析】把已知数据代入面积公式解方程即得【详解】由题意得,整理得,或5,即或3故选:C【点睛】本题寓数学知识于数学文化之中,解题时只要把已知代入面积公
6、式解方程即可得10如图,正方体中,分别为所在棱的中点,则下列各直线中,不与平面平行的是( )A直线B直线C直线D直线【答案】C【解析】根据线面平行的判定定理判断【详解】首先四个选项的直线都不在平面内,由中点及正方体的性质知,直线,都与平面平行,剩下的只有不与平面平行实际上过作 的平行线,这条平行线在平面内且与相交(它们都在平面内)故选:C【点睛】本题考查线面平行的判定,解题根据是线面平行的判定定理11已知双曲线:(,)的焦距为.点为双曲线的右顶点,若点到双曲线的渐近线的距离为,则双曲线的离心率是( )ABC2D3【答案】A【解析】由点到直线距离公式建立的等式,变形后可求得离心率【详解】由题意,
7、一条渐近线方程为,即,即,故选:A【点睛】本题考查求双曲线的离心率,掌握渐近线方程与点到直线距离公式是解题基础12已知,则( )ABCD【答案】B【解析】首先与1比较,得一最大的,剩下的两个与比较【详解】首先,最大,其次,故选:B【点睛】本题考查比较幂和对数的大小,对不同底的对数或幂一般借助于中间值比较,如0,1,2等等本题中是与比较的二、填空题13直线(,)过圆:的圆心,则的最小值是_.【答案】2【解析】根据直线过圆心可得,再根据基本不等式即可求出的值【详解】即为,所以圆心为由题意可得,即,所以当且仅当时取等号故答案为:2【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最小值,涉及圆的标准方程的应用以及
8、点与直线的位置关系的应用,属于基础题14若椭圆:与圆:和圆:均有且只有两个公共点,则椭圆的标准方程是_.【答案】【解析】根据圆和椭圆的对称性可知,圆与椭圆交于长轴的两端点,圆与椭圆交于短轴的两端点,即可求出的值,进而求出椭圆的标准方程【详解】根据圆和椭圆的对称性可知,圆与椭圆交于长轴的两端点,圆与椭圆交于短轴的两端点,所以,故椭圆的标准方程是故答案为:【点睛】本题主要考查圆与椭圆的对称性的应用,以及椭圆标准方程的求法,属于基础题15如图,在中,点,分别为的中点,若,则_.【答案】【解析】根据 为直角三角形,利用勾股定理可求出,以及以为基底,表示出,由数量积的运算即可求出的值【详解】因为,所以,
9、而点,分别为的中点,所以为的重心,即有故答案为:【点睛】本题主要考查数量积的运算和三角形重心性质的应用,解题关键是选择合适的基底,意在考查学生的数学运算能力,属于中档题16在三棱锥中,两两垂直,且,.若以为球心,为半径做一个球,当球面与所在平面相切时,_.【答案】【解析】当球面与所在平面相切时,点到面的距离为球的半径,根据等积法,即可求出【详解】依题意可知,点到面的距离为球的半径所以,在中,即有故答案为:【点睛】本题主要考查三棱锥的体积求法以及等积法的应用,意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力,属于基础题三、解答题17为满足人们的阅读需求,图书馆设立了无人值守的自助阅读区,提倡人们在阅读后
10、将图书分类放回相应区域.现随机抽取了某阅读区500本图书的分类归还情况,数据统计如下(单位:本).文学类专栏科普类专栏其他类专栏文学类图书1004010科普类图书3020030其他图书201060(1)根据统计数据估计文学类图书分类正确的概率;(2)根据统计数据估计图书分类错误的概率.【答案】(1)(2)【解析】(1)根据古典概型的概率公式,分别求出文学类图书总数以及正确分类的图书数,即可求出;(2)根据古典概型的概率公式,分别求出图书分类错误的数量以及图书总数,即可求出【详解】(1)由题意可知,文学类图书共有本,其中正确分类的有100本所以文学类图书分类正确的概率(2)图书分类错误的共有本,
11、因为图书共有500本,所以图书分类错误的概率【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用,意在考查学生的数据处理能力,属于基础题18已知数列是首项为2的等比数列,若成等差数列.(1)求的通项公式;(2)若数列满足,求的值.【答案】(1)(2)【解析】(1)根据成等差数列,列出方程解出公比,即可求得的通项公式;(2)因为,并项求和,即可求出【详解】(1)是等比数列,且成等差数列,即解得(舍去)或,(2)【点睛】本题主要考查等差数列的定义应用,以及并项求和法求数列的和,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题19如图,三棱柱的侧棱垂直于底面,是棱的中点.(1)证明:;(2)求三棱锥的体积.【答案】(
12、1)证明见解析(2)【解析】(1)要证,可证平面由平面知识可证得,又平面可推出,即得平面,于是;(2)根据等积法,即可求出【详解】(1)证明:平面四边形是矩形为中点,且,与相似,平面,平面平面,平面,(2)在中,所以由(1)知平面由于四边形是矩形,所以【点睛】本题主要考查利用线面垂直的判定定理,性质定理证明线线垂直,以及利用等积法求三棱锥的体积,意在考查学生的直观想象能力,逻辑推理能力和运算能力,属于中档题20已知中,角,所对的边分别为,且满足.(1)求的面积;(2)若,求的最大值.【答案】(1)(2)【解析】(1)由诱导公式和二倍角公式可得,从而得三角形面积;(2)由余弦定理得,从而可把用角
13、表示出来,由三角函数性质求得最大值【详解】解:(1)在中,(2)当时,取最大值.【点睛】本题考查二倍角公式,诱导公式,两角和与差的正弦公式,余弦定理本题关键是,这样可把表示为角的函数,从而求得最值21设函数(为自然对数的底数).(1)求函数在点处的切线方程;(2)证明:.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】(1)根据导数的几何意义,即可求解;(2)要证,即证,亦即,利用导数判断出函数在上的单调性,即可证出【详解】(1),切线的方程为,即(2)令,有时,单调递减【点睛】本题主要考查导数几何意义的应用以及利用导数证明不等式,意在考查学生的转化能力,属于中档题22如图,已知直线是抛物线的准线.过焦点的直线交抛物线于,两点,过点且与直线垂直的直线交抛物线的准线于点.(1)求抛物线的标准方程;(2)求的最大值,并求出此时直线的方程.【答案】(1)(2)的最大值为,直线的方程为【解析】(1)根据是抛物线的准线,可求出,即得抛物线的标准方程;(2)设出直线:,由弦长公式即可求出,由距离公式求出,即可得到,再根据不等式的性质即可求出的