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1、.专业.专注.用好法向量,巧解高考题为了和国际数学接轨,全日制普通高级中学教科书中增加了向量的内容,随着课程改革的进行,向 量的应用将会更加广泛,这在2004年高考数学试题中得到了充分的体现。向量在研究空间几何问题中为学生提供了新的视角,但在教学中,我们的应用还不够, 特别是法向量的应用,教科书中只给了一个概念:如果非零向量 ,那么 叫做平面 的法向量,实质上,法向量的灵活应用,将使得原本很繁琐的推理,变得思路清晰且规范。本文将介绍法向量在空间几何证明、计算中的应用。(一)直线 的方向向量和平面 的法向量分别为 ,则直线 和平面 所成的角 等于向量 所成的锐角(若所成的角为钝角,则为其补角)的
2、余角,即 。(2003全国(理)18题) 如图,直三棱柱中,底面是等腰直角 三角形, ,侧棱,分别是与的中点,点在平面上的射影是的重心,()求与平面所成角的大小(结果 用反三角函数值表示);()求点到平面的距离。()解:以为坐标原点,建立如 图所示的坐标系,设,则, , , , , , , , , ,由 得, , , , ,设平面的法向量为 ,则 , ,由, 得,令 得, ,平面 的一个法向量为 , 与的夹角的余弦值是 , 与平面所成角为 。当直线与平面平行时,直线与平面所成的角为,此时直线的方向向 量与平面的法向量垂直,我们可利用这一特征来证明直线与平面平行。(二)如果不在平面内一条直线与平
3、面的一个法向量垂直,那么这条直线和这个平面平行。(2004年高考湖南(理)19题)如图,在底面是菱形的四棱锥中, , ,点在上,且 ,(I)证明: ;(II)求以为棱, 与为面的二面角的大小;()在棱上是否存在一点,使?证明你的结论。()解:以为坐标原点,直线分别为轴、轴,过点垂直平面的直线为轴,建立空间直角坐 标系(如图),由题设条件,相关各点的坐标分别为, , , ,设平面的法向量为,则由题意可知, ,由 得, 令得, ,平面的一个法向量为 设点是棱上的点,则,由 得, , 当是棱的中点时, 。同样,当直线与平面垂直时,直线与平面所成的角为,此时直线的方向向 量与平面的法向量平行,我们可利
4、用这一特征来证明直线与平面垂直。(三)设二面角的两个半平面和的法向量分别为,设二面角的大小为,则二面角的平面角 与两法向量所成的角相等或互补,当二面角的锐角时, ;当二面角为钝角时, 。我们再来看2004年高考湖南(理)19题:()解:由题意可知, , , 为平面的一个法向量,设平面的法向量为 ,则由题意可知, ,由 得, 令 得, ,平面的一个法向量为,向量与夹角的余弦值是 , ,由题意可知,以为棱,与为面的二面角是锐角,所求二面角的大小为 。我们知道当两个平面的法向量互相垂直时,两个平面所成的二面角为直角,此时两个平面垂直,我 们可用这一特征来证明两个平面垂直。(四)设两个平面和的法向量分
5、别为,若,则这两个平面垂 直。(1996年全国(文)23题)在正三棱柱中, , 分别是上的点,且 ,求证:平面平面 。证明:以为坐标原点,建立如 图所示的坐标系,则 , , , , , ,设平面的法向量为 ,则由题意可知,由 得, 令得, ,平面的一个法向量为 ,由题意可知,平面的一个法向量为 平面平面 (五)设平面的法向量为,是平面外一点, 是平面内一点,则点到平面的距离等于在法向量上的投影的绝对值, 即 。我们再来看2003年全国(理)18题:()解:设 ,则 , , , , , ,设平面 的法向量为 ,则 , ,由 , 得,令 得, ,平面的一个法向量为 ,而 ,点 到平面的距离 。我们
6、知道直线与平面、两个平面的距离都归结为点到平面的距离,故此法同样可以解决直线与平 面、两个平行平面的距离。(六)设向量与两异面直线都垂直(我们也把向 量称为两异面直线的法向量),分别为异面直线上的点,则两异面直 线的距离等于法向量上的投影的绝对值, 即。(1999年全国(理)21题)如图,已知正四棱柱中,点在棱上,截面 ,且面与底面所成的角为 ,求异面直线与之间的距离。解:以为坐标原点,建立如 图所示的坐标系 ,连结交于 ,连结 ,则就是面 与底面所成的角的平面角,= , 又截面 ,为的中点, 为的中点, ,则 , , , , ,设向量 与两异面直线都垂直,由 ,得, , ,异面直线与之间的距离 前面介绍了利用法向量解决空间几何的证明与计算问题,实现了几何问题的代数化,将复杂的几何 证明转化为代数运算,从而避免了几何作图,减少了逻辑推理,降低了难度。但公式的应用也有一定的局限性,一般地,在能建立空间直角坐标系的情况下,利用法 向量较为有效。 . word可编辑 .