《高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2双曲线2.2.2双曲线的简单几何性质讲义含解析新人教A选修1_1.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2双曲线2.2.2双曲线的简单几何性质讲义含解析新人教A选修1_1.doc(19页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、22.2双曲线的简单几何性质预习课本P4953,思考并完成以下问题 1双曲线有哪些几何性质?2双曲线的顶点、实轴、虚轴分别是什么?3双曲线的渐近线、等轴双曲线的定义分别是什么?1双曲线的几何性质标准方程1(a0,b0)1(a0,b0)性质图形焦点F1(c,0),F2(c,0)F1(0,c),F2(0,c)焦距|F1F2|2c性质范围xa或 xa,yya或 ya,x对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点A1(a,0),A2(a,0)A1(0,a),A2(0,a)轴实轴:线段A1A2,长:;虚轴:线段B1B2,长:;半实轴长:,半虚轴长:离心率e(1,)渐近线yxyx2等轴双曲线实轴和虚轴等长的
2、双曲线叫等轴双曲线,它的渐近线是yx,离心率为e.点睛对双曲线的简单几何性质的几点认识(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置;(2)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小,离心率越大,双曲线的开口越大,反之亦然1判断下列命题是否正确(正确的打“”,错误的打“”)(1)双曲线1的焦点在y轴上()(2)双曲线的离心率越大,双曲线的开口越开阔()(3)以y2x为渐近线的双曲线有2条()答案:(1)(2)(3)2双曲线y21的顶点坐标是()A(4,0),(0,1)B(4,0),(4,0)C(0,1),(0,1) D(4,0),(0,1)答案:B3中心在原点,实轴长为10,虚轴长为6的双曲线的标准方程
3、是()A.1B.1或1C.1D.1或1答案:B4(2017全国卷)双曲线1(a0)的一条渐近线方程为yx,则a_.答案:5双曲线的几何性质典例求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程解双曲线的方程化为标准形式是1,a29,b24,a3,b2,c.又双曲线的焦点在x轴上,顶点坐标为(3,0),(3,0),焦点坐标为(,0),(,0),实轴长2a6,虚轴长2b4,离心率e,渐近线方程为yx.由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键;(2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值;(3)由c2a2b2求出c值,从而写出双
4、曲线的几何性质注意求性质时一定要注意焦点的位置 活学活用1已知双曲线1与1,下列说法正确的是()A两个双曲线有公共顶点B两个双曲线有公共焦点C两个双曲线有公共渐近线D两个双曲线的离心率相等解析:选C双曲线1的焦点和顶点都在x轴上,而双曲线1的焦点和顶点都在y轴上,因此可排除选项A、B;双曲线1的离心率e1,而双曲线1的离心率e2,因此可排除选项D;易得C正确2(2017北京高考)若双曲线x21的离心率为,则实数m_.解析:由双曲线的标准方程可知a21,b2m,所以e,解得m2.答案:2由双曲线的几何性质求标准方程典例(1)(2017天津高考)已知双曲线1(a0,b0)的左焦点为F,离心率为.若
5、经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.1B.1C.1 D.1(2)过点(2,2)且与y21有相同渐近线的双曲线的标准方程为_解析(1)由e知,双曲线为等轴双曲线,则其渐近线方程为yx,故由P(0,4),知左焦点F的坐标为(4,0),所以c4,则a2b28.故双曲线的方程为1.(2)法一:当焦点在x轴上时,由于.故可设方程为1,代入点(2,2)得b22(舍去);当焦点在y轴上时,可知,故可设方程为1,代入点(2,2)得a22.所以所求双曲线方程为1.法二:因为所求双曲线与已知双曲线y21有相同的渐近线,故可设双曲线方程为y2(0),代入点(2,2)得2,
6、所以所求双曲线的方程为y22,即1.答案(1)B(2)1求双曲线的标准方程的方法与技巧(1)一般情况下,求双曲线的标准方程关键是确定a,b的值和焦点所在的坐标轴,若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标,则焦点所在的坐标轴易得再结合c2a2b2及e列关于a,b的方程(组),解方程(组)可得标准方程(2)如果已知双曲线的渐近线方程为yx,那么此双曲线方程可设为(0) 活学活用求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)虚轴长为12,离心率为;(2)焦点在x轴上,离心率为,且过点(5,3);(3)顶点间距离为6,渐近线方程为yx.解:(1)设双曲线的标准方程为1或1(a0,b0)由题意知2b12,且c2a2b
7、2,b6,c10,a8,双曲线的标准方程为1或1.(2)e,ca,b2c2a2a2.又焦点在x轴上,设双曲线的标准方程为1(a0)把点(5,3)代入方程,解得a216.双曲线的标准方程为1.(3)设以yx为渐近线的双曲线方程为(0),当0时,a24,2a26.当0,b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为_解析如图所示,不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为,又直线l过右焦点F(c,0),则直线l的方程为y(xc)因为点P的横坐标为2a,代入双曲线方程得1,化简得yb或yb(点P在x轴下方,故舍去),故点P的坐标为(2a,b),代入直线方程得b(2
8、ac),化简可得离心率e2.答案2求双曲线离心率的两种方法(1)直接法:若已知a,c可直接利用e求解,若已知a,b,可利用e 求解(2)方程法:若无法求出a,b,c的具体值,但根据条件可确定a,b,c之间的关系,可通过b2c2a2,将关系式转化为关于a,c的齐次方程,借助于e,转化为关于e的n次方程求解 活学活用1如果双曲线1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点,则双曲线离心率的取值范围是_解析:如图,因为AOAF,F(c,0),所以xA,因为A在右支上且不在顶点处,所以a,所以e2.答案:(2,)2设F1,F2是双曲线C:1(a0,b0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1
9、|PF2|6a,且PF1F2的最小内角为30,则C的离心率为_解析:不妨设|PF1|PF2|,则|PF1|PF2|2a,又|PF1|PF2|6a,得|PF1|4a,|PF2|2a,|F1F2|2c,则在PF1F2中,PF1F230,由余弦定理得(2a)2(4a)2(2c)22(4a)(2c)cos 30,整理得(e)20,所以e.答案:层级一学业水平达标1双曲线2x2y28的实轴长是()A2B2C4 D4解析:选C双曲线方程可变形为1,所以a24,a2,从而2a4,故选C.2已知双曲线的实轴和虚轴等长,且过点(5,3),则双曲线方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析:选D由题意知,所求双曲
10、线是等轴双曲线,设其方程为x2y2(0),将点(5,3)代入方程,可得523216,所以双曲线方程为x2y216,即1.3(2017全国卷)若a1,则双曲线y21的离心率的取值范围是()A(,) B(,2)C(1,) D(1,2)解析:选C由题意得双曲线的离心率e.即e21.a1,01,112,1e.4若一双曲线与椭圆4x2y264有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该双曲线的方程为()Ay23x236 Bx23y236C3y2x236 D3x2y236解析:选A椭圆4x2y264可变形为1,a264,c2641648,焦点为(0,4),(0,4),离心率e,则双曲线的焦点在y轴上,c4,
11、e,从而a6,b212,故所求双曲线的方程为y23x236.5已知双曲线y21(a0)的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列,则双曲线的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx解析:选D由双曲线方程为y21,知b21,c2a21,2b2,2c2.实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列,2a2c4b4,2a24,解得a.双曲线的渐近线方程为yx.6已知点(2,3)在双曲线C:1(a0,b0)上,C的焦距为4,则它的离心率为_解析:由题意知1,c2a2b24,解得a1,所以e2.答案:27已知双曲线1(a0,b0)的一个焦点为F(2,0),且离心率为e,则双曲线的标准方程为_解析:由焦点坐标,知c2,由
12、e,可得a4,所以b2,则双曲线的标准方程为1.答案:18已知双曲线过点(4,),且渐近线方程为yx,则该双曲线的标准方程为_解析:法一:双曲线的渐近线方程为yx,可设双曲线的方程为x24y2(0)双曲线过点(4,),164()24,双曲线的标准方程为y21.法二:渐近线yx过点(4,2),而0,b0)由已知条件可得解得双曲线的标准方程为y21.答案:y219求满足下列条件的双曲线的标准方程(1)与双曲线1具有相同的渐近线,且过点M(3,2);(2)过点(2,0),与双曲线1离心率相等;(3)与椭圆1有公共焦点,离心率为.解:(1)设所求双曲线方程为(0)由点M(3,2)在双曲线上得,得2.故所求双曲线的标准方程为1.(2)当所求双曲线的焦点在x轴上时,可设其