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1、专题突破六构造函数法在导数中的应用 第三章导数及其应用 所谓 构造函数 即从无到有 即在解题的过程中 根据题目的条件和结构特征 不失时机地 构造 出一个具体函数 对学生的思维能力要求较高 难度较大 一般都作为小题或解答题的压轴部分 一 作差法构造例1设函数f x lnx g x ax 它们的图象在x轴上的公共点处有公切线 求证 当x 1时 f x g x 证明因为f x lnx与x轴的交点为 1 0 f x 与g x 的图象在x轴上的公共点处有公切线 所以g 1 0 即a b 0 由f 1 g 1 得a b 1 所以h x 在 1 上是减函数 即h x h 1 0 f x g x 点评证明不等
2、式或证明不等式恒成立问题都可以利用作差法 将不等式右边转化为0 然后构造新函数F x 最后根据新函数F x 的单调性转化为F x min 0或F x max 0来解决 当01时 g x 0 所以x 1是g x 的极小值点 也是最小值点 故当x 0时 g x g 1 0 二 分离参数法构造例2若对任意的x e 都有xlnx ax a 求实数a的取值范围 解对于任意的x e 都有xlnx ax a 即m x x lnx 1在 e 上单调递增 故m x m e e 2 0 h x 0 点评恒成立问题中 求参数范围的问题 常常分离参数 转化为a F x min或a F x max 其中F x 为构造的
3、新函数 跟踪训练2 2018 玉溪模拟 已知函数f x ex tx e为自然对数的底数 若对于任意的x 0 2 不等式f x 0恒成立 则实数t的取值范围为 e 解析依题意得ex tx 0在 0 2 上恒成立 当00 当1 x 2时 g x 0 函数g x 在 0 1 上单调递增 在 1 2 上单调递减 函数g x 在x 1处取得极大值即最大值g 1 e 故实数t的取值范围是 e 三 依据题干的 结构特征 猜想构造例3若定义在R上的函数y f x 满足f x f x 则当a 0时 f a 与eaf 0 的大小关系为A f a eaf 0 C f a eaf 0 D 不能确定 即f a eaf
4、0 跟踪训练3设函数f x 是奇函数f x x R 的导函数 f 1 0 当x 0时 xf x f x 0成立的x的取值范围是 1 0 0 1 因为f x 为奇函数 所以F x 为偶函数 且当x 0时 xf x f x 0 又f 1 0 f 1 0 h x 在 0 上单调递减 跟踪训练4已知函数f x a 1 lnx ax2 1 设a 2 证明 对任意x1 x2 0 f x1 f x2 4 x1 x2 证明不妨假设x1 x2 由于a 2 f x 在 0 上单调递减 所以 f x1 f x2 4 x1 x2 等价于f x2 f x1 4x1 4x2 即f x2 4x2 f x1 4x1 令g x
5、 f x 4x 从而g x 在 0 上单调递减 故g x1 g x2 即f x1 4x1 f x2 4x2 故对任意x1 x2 0 f x1 f x2 4 x1 x2 1 2 3 4 5 针对训练 ZHENDUIXUNLIAN 6 1 已知函数f x kx2 lnx 若f x 0在 0 上恒成立 则k的取值范围是 1 2 3 4 5 6 当x 0 时 g x 0 g x 单调递增 当x 时 g x 0 g x 单调递减 1 2 3 4 5 6 2 若 且 sin sin 0 则下列结论正确的是A B 2 2C 0 1 2 3 4 5 6 解析令f x xsinx f x sinx xcosx
6、sin sin f f 又f x 为偶函数 故 2 2 1 2 3 4 5 6 3 已知f x 是定义在 0 上的函数 f x 是f x 的导函数 且总有f x xf x 则不等式f x xf 1 的解集为A 0 B 0 C 0 1 D 1 1 2 3 4 5 6 f x xf x g x 0 g x 在 0 上单调递减 f x xf 1 的解集为 0 1 1 2 3 4 5 6 4 已知函数f x 的图象关于y轴对称 且当x 0 时 f x xf x a cB c a bC c b aD a b c 1 2 3 4 5 6 解析设F x xf x 则F x f x xf x 因为x0时 F
7、x 是减函数 又1a c 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 记g x x 2 x x 0 则a g x 在 0 上恒成立 所以a g x max x 0 而g x x 2 x x 1 2 1 当x 1时 g x 有最大值1 故a 1 1 2 3 4 5 6 1 求函数f x 的单调区间 当x 0 e 时 f x 0 f x 单调递增 当x e 时 f x 0 f x 单调递减 f x 的单调递增区间为 0 e 单调递减区间为 e 1 2 3 4 5 6 2 比较20182019与20192018的大小并说明理由 解由 1 知f x 在 e 上单调递减 即2019ln2018
8、2018ln2019 即ln20182019 ln20192018 又y lnx在 0 上单调递增 所以20182019 20192018 1 2 3 4 5 6 1 当a 1时 求函数f x 在 1 e 上的最小值和最大值 当x 1 2 时 f x 0 f x 在 1 2 上是减函数 在 2 e 上是增函数 当x 2时 f x 取得最小值 其最小值为f 2 2ln2 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 解假设存在实数a 对任意的x1 x2 0 即f x2 ax2 f x1 ax1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 只需g x 在 0 上为增函数 即g x 0在 0 上恒成立
