《高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系课件新人教A版必修2.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系课件新人教A版必修2.ppt（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2 1 2 空间间中直线线与直线线 之间间的位置关系 一二三四 一 空间中两条直线的位置关系 1 同一平面内两条直线有几种位置关系 分别是什么关系 提示 两种 分别是平行关系和相交关系 2 观察长方体ABCD A1B1C1D1 棱A1D1所在的直线与棱BB1所在 的直线在同一个平面内吗 它们是什么关系 提示 不在同一个平面内 它们是异面关系 3 分别在两个平面内的两条直线是否一定异面 提示 不一定 它们可能异面 可能相交 也可能平行 一二三四 4 空间的两条直线有几种位置关系 分别是什么关系 提示 三种 相交直线 平行直线和异面直线 其中相交直线和平 行直线是共面直线 5 填空 6 做一做 平
2、面内一点与平面外一点连线 和这个平面内直线的关 系是 答案 相交或异面 一二三四 二 平行公理 1 观察长方体ABCD A1B1C1D1 显然AB CD CD C1D1 则AB与 C1D1有何位置关系 提示 AB C1D1 2 关于公理4 请完成下表 一二三四 3 做一做 如图 在长方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别为 B1O和C1O的中点 长方体的各棱中与EF平行的有 A 一条B 两条C 三条D 四条 解析 因为E F分别为B1O和C1O的中点 所以B1C1 EF 因为 BC AD A1D1 B1C1 所以有四条棱与EF平行 答案 D 一二三四 三 等角定理 1 如图 在四棱柱AB
3、CD A B C D 中 底面ABCD为菱形 ADC与 A D C ADC与 A B C 的两边分别对应 平行 这两组角的大小 关系如何 提示 ADC A D C ADC A B C 180 2 平面上 我们容易证明 如果一个角的两边和另一个角的两边 分别平行 那么这两个角相等或互补 在空间中 该结论 是否仍然 成立 提示 仍然成立 一二三四 3 填空 空间中如果两个角的两边分别对应 平行 那么这两个角 相等或互补 4 做一做 已知 BAC 30 AB A B AC A C 则 B A C A 30 B 150 C 30 或150 D 大小无法确定 解析 当 B A C 与 BAC开口方向相同
4、时 B A C 30 当 B A C 与 BAC开口方向相反时 B A C 150 答案 C 一二三四 四 异面直线所成的角 1 在长方体A1B1C1D1 ABCD中 BC1 AD1 则 直线BC1与直线BC 所成的角 与 直线AD1与直线BC所成的角 是否相等 提示 相等 2 若两条相交直线a b 所成的角为 则 的取值范围是什么 类 似地 若两条异面直线a b所成的角为 则 的取值范围是什么 提示 0 90 0 90 一二三四 3 关于两条异面直线所成的角 夹角 填写下表 一二三四 4 做一做 在正方体ABCD A1B1C1D1中 BAE 25 则异面直线 AE与B1C1所成的角的大小为
5、答案 65 探究一探究二探究三思维辨析 空间间两条直线线位置关系的判定 例1 1 在正方体ABCD A1B1C1D1中 判断下列直线间 的位置关系 直线A1B与直线D1C 直线A1B与直线B1C 直线D1D与直线CE E为线 段C1D1的中点 直线AB与直线B1C 2 已知三条直线a b c a与b异面 b与c异面 则a与c有什么样的位 置关系 并画图说 明 探究一探究二探究三思维辨析 思路分析 1 2 根据异面直线的定义分析 解 1 平行 异面 相交 异面 2 直线a与c的位置关系有三种情况 如图所示 直线a与c可能平行 如图 可能相交 如图 可能异面 如图 探究一探究二探究三思维辨析 反思
6、感悟空间两条直线位置关系的判定方法 1 判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断 而两条 直线平行也可以用公理4判断 2 判定两条直线是异面直线的方法 定义法 由定义判断两直线不可能在同一平面内 排除法 反证法 排除两直线共面 平行或相交 重要结论 判定定理法 连接平面内一点与平面外一点的直线 和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 如图 A B l B l AB与l是异面直线 探究一探究二探究三思维辨析 延伸探究在本例的正方体中 所有与直线AB异面的棱所在的直 线为 答案 CC1 B1C1 DD1 A1D1 探究一探究二探究三思维辨析 平行公理 等角定理的应应用 例2如图 在正方体AB
7、CD A1B1C1D1中 M M1分别是棱AD和A1D1 的中点 1 求证 四边形BB1M1M为平行四边形 2 求证 B1M1C1 BMC 思路分析 1 通过公理4证明MM1 BB1 且MM1 BB1 2 由 1 知 B1M1 BM 同理证得C1M1 CM 再由等角定理证得 BMC B1M1C1 也可以通过证明 BCM B1C1M1证出 BMC B1M1C1 探究一探究二探究三思维辨析 证明 1 在正方形ADD1A1中 M M1分别为AD A1D1的中点 MM1 AA1 又AA1 BB1 MM1 BB1 且MM1 BB1 四边形BB1M1M为平行四边形 探究一探究二探究三思维辨析 2 方法一
8、由 1 知四边形BB1M1M为平行四边形 B1M1 BM 由 1 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形 C1M1 CM 由平面几何知识可知 BMC和 B1M1C1都是锐角 BMC B1M1C1 方法二 由 1 知四边形BB1M1M为平行四边形 B1M1 BM 由 1 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形 C1M1 CM 又B1C1 BC B1C1M1 BCM B1M1C1 BMC 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟公理4及等角定理的应用 判断两直线平行仍是立体几何中的一个重要组成部分 除了平面 几何中常用的判断方法以外 公理4也是判断两直线平行的重要依 据 证明角相等 利用空间等角定理是
9、常用的思考方法 另外也可以 通过证明两个三角形全等或相似来证明两角相等 在应用等角定理 时 应注意当两个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反时 这两个角相等 否则这两个角互补 因此 在证明两个角相等时 只说 明两个角的两边分别对应平行是不够的 探究一探究二探究三思维辨析 变式训练 已知棱长为 a的正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别是 棱CD AD的中点 求证 1 四边形MNA1C1是梯形 2 DNM D1A1C1 证明 1 如图 连接AC 在 ACD中 M N分别是CD AD的中点 MN是 ACD的中位线 MN AC MN AC 由正方体的性质 得AC A1C1 AC A1C1
10、MN A1C1 且MN A1C1 即MN A1C1 四边形MNA1C1是梯形 2 由 1 可知MN A1C1 又 ND A1D1 DNM与 D1A1C1相等或互补 而 DNM与 D1A1C1均是直角三角形的一个锐角 DNM D1A1C1 探究一探究二探究三思维辨析 求异面直线线所成的角 例3 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是A1B1 B1C1的中 点 求异面直线DB1与EF所成角的大小 思路分析 先作出角 再证明角的两边分别与两异面直线平行 最 后在三角形中求角 探究一探究二探究三思维辨析 解法一如图 1 连接A1C1 B1D1 并设它们相交于点O 取DD1的中 点G
11、连接OG 则OG B1D EF A1C1 GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角 GA1 GC1 O为A1C1的中点 GO A1C1 异面直线DB1与EF所成的角为90 探究一探究二探究三思维辨析 解法二如图 2 连接A1D 取A1D的中点H 连接HE 则HE DB1 且 HE DB1 于是 HEF为异面直线DB1与EF所成的角或补角 取A1D1的中点I 连接IF IH 则HI IF HF2 HI2 IF2 HF2 EF2 HE2 HEF 90 异面直线DB1与EF所成的角为90 探究一探究二探究三思维辨析 解法三如图 3 在原正方体的右侧补上一个全等的正方体 连接 B1Q 则B1Q
12、EF 于是 DB1Q为异面直线DB1与EF所成的角或其补角 通过计算 不难得到 B1D2 B1Q2 DQ2 从而异面直线DB1与EF所 成的角为90 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟 1 求两条异面直线所成角的一般步骤 构造 恰当地选择一个点 线段的端点或中点 用平移法构造异 面直线所成的角 证明 证明 中所作出的角就是所求异面直线所成的角或其补 角 计算 通过解三角形等知识 求出 中所构造的角的大小 结论 假如所构造的角的大小为 若0 90 则 即为所 求异面直线所成角的大小 若90 180 则180 即为所求 2 作异面直线所成角的常用方法 直接平移法 可利用图中已有的平行线 中位线平
13、移法 补形平移法 在已知图形中 补作一个相同的几何体 以便找到 平行线 探究一探究二探究三思维辨析 2 作出异面直线所成的角 可通过多种方法平移产生 主要有三 种方法 直接平移法 可利用图中已有的平行线 中位线平移法 补形平移法 在已知图形中 补作一个相同的几何体 以便找到 平行线 探究一探究二探究三思维辨析 延伸探究若把 直线DB1 换为 直线DC1 呢 解 如图 连接A1C1 A1D 在 A1B1C1中 A1E EB1 C1F FB1 所以EF A1C1 所以 A1C1D为 直线DC1与EF所成的角 在 A1C1D中 A1D DC1 A1C1 所以 A1C1D 60 所以直线DC1与EF所
14、成的角等于60 探究一探究二探究三思维辨析 一题多解 判断两条直线异面 典例如图 空间四边形ABCD AB AC AE是 ABC的BC边上的高 DF是 BCD的BC边上的中线 求证 AE和DF是异面直线 点拨 根据题意画出示意图 由题设 条件可知点E F不重合 需结 合AE和DF的位置关系判断 探究一探究二探究三思维辨析 证法一 定理法 由题设条件可知点E F不重合 设 BCD所在平面为 证法二 反证法 若AE和DF不是异面直线 则AE和DF共面 设过AE DF的平面为 1 若E F重合 则E是BC中点 AB AC 这与题设AB AC相矛盾 2 若E F不重合 B EF C EF EF BC
15、A D A B C D四点共面 这与题设四边形ABCD是空间四边形相矛盾 综上 AE和DF不是异面直线不成立 故AE和DF是异面直线 探究一探究二探究三思维辨析 方法总结 判断两条直线异面常用的方法 1 定义法 不同在任一平面内的两条直线 2 定理法 过平面外一点与平面内一点的直线 和平面内不经过 该点的直线是异面直线 3 推论法 一条直线上两点与另一条与它异面的直线上两点所连 成的两条直线为异面直线 12345 1 空间两条直线a b与直线l都成异面直线 则a b的位置关系是 A 平行或相交 B 异面或平行 C 异面或相交 D 平行或异面或相交 解析 直线a b与直线l都成异面直线 a与b之
16、间并没有任何限制 所 以a与b直线的位置关系所有情况都可能 答案 D 12345 2 直线a与直线b相交 直线c与直线b相交 则直线a与直线c的位置 关系是 A 相交 B 平行 C 异面 D 以上都有可能 解析 如图所示 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB与AA1相交 A1B1与 AA1相交 AB A1B1 又AD与AA1相交 AB与AD相交 又A1D1与AA1相 交 AB与A1D1异面 故选D 答案 D 12345 3 一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图所示 A B C是展开 图上的三点 则在正方体盒子中 ABC的大小是 A 45 B 30 C 60 D 90 解析 将平面图形折叠 得立体图 如图所示 可得 ABC的各边均为 正方形的面对角线长 所以 ABC为等边三角形 所以 ABC的大小 为60 故选C 答案 C 12345 4 已知AB PQ BC QR ABC 30 则 PQR等于 A 30 B 30 或150 C 150 D 以上结论 都不对 解析 ABC的两边与 PQR的两边分别平行 但方向不能确定是否 相同 PQR 30 或150 答案 B 12345 5 如
