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1、 3 6对数与对数函数 第三章函数概念与基本初等函数 NEIRONGSUOYIN 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 课时作业 1 基础知识自主学习 PARTONE 1 对数的概念一般地 如果ax N a 0 且a 1 那么数x叫做以a为底N的对数 记作 其中叫做对数的底数 叫做真数 2 对数的性质与运算法则 1 对数的运算法则如果a 0 且a 1 M 0 N 0 那么 loga MN loga logaMn n R x logaN a N 知识梳理 ZHISHISHULI logaM logaN logaM logaN nlogaM 2 对数的性质 logaaN a 0 且a 1
2、3 对数的换底公式logab a 0 且a 1 c 0 且c 1 b 0 N N 3 对数函数的图象与性质 4 反函数指数函数y ax a 0且a 1 与对数函数 a 0且a 1 互为反函数 它们的图象关于直线对称 0 R 1 0 y 0 y 0 y 0 y 0 增函数 减函数 y logax y x 1 根据对数换底公式 说出logab logba的关系 提示logab logba 1 化简 概念方法微思考 提示 logab 2 如图给出4个对数函数的图象 比较a b c d与1的大小关系 提示0 c d 1 a b 题组一思考辨析 1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 若MN 0
3、 则loga MN logaM logaN 2 logax logay loga x y 3 函数y log2x及y 3x都是对数函数 4 对数函数y logax a 0且a 1 在 0 上是增函数 5 函数y ln与y ln 1 x ln 1 x 的定义域相同 6 对数函数y logax a 0且a 1 的图象过定点 1 0 且过点 a 1 函数图象只在第一 四象限 基础自测 JICHUZICE 1 2 3 4 5 6 7 题组二教材改编 1 2 3 4 5 6 7 c a b c a b 1 2 3 4 5 6 7 4 P74A组T7 函数y 的定义域是 1 2 3 4 5 6 解析由 2
4、x 1 0 得0 2x 1 1 7 5 已知b 0 log5b a lgb c 5d 10 则下列等式一定成立的是A d acB a cdC c adD d a c 1 2 3 4 5 6 题组三易错自纠 7 6 已知函数y loga x c a c为常数 其中a 0 a 1 的图象如图 则下列结论成立的是A a 1 c 1B a 1 01D 0 a 1 0 c 1 解析由该函数的图象通过第一 二 四象限知该函数为减函数 0 a 1 图象与x轴的交点在区间 0 1 之间 该函数的图象是由函数y logax的图象向左平移不到1个单位后得到的 0 c 1 1 2 3 4 5 6 7 7 若函数f
5、x logax 0 a 1 在 a 2a 上的最大值是最小值的3倍 则a的值为 1 2 3 4 5 6 7 解析因为0 a 1 所以f x 在 a 2a 上是减函数 所以f x max f a logaa 1 f x min f 2a loga2a 1 loga2 2 题型分类深度剖析 PARTTWO 题型一对数的运算 解析设3a 4b 6c k 所以a log3k b log4k c log6k 自主演练 2 2013 浙江 已知x y为正实数 则A 2lgx lgy 2lgx 2lgyB 2lg x y 2lgx 2lgyC 2lgx lgy 2lgx 2lgyD 2lg xy 2lgx
6、2lgy 解析2lgx 2lgy 2lgx lgy 2lg xy 故选D 1 4 设函数f x 3x 9x 则f log32 6 解析 函数f x 3x 9x 对数运算的一般思路 1 拆 首先利用幂的运算把底数或真数进行变形 化成分数指数幂的形式 使幂的底数最简 然后利用对数运算性质化简合并 2 合 将对数式化为同底数的和 差 倍数运算 然后逆用对数的运算性质 转化为同底对数真数的积 商 幂的运算 对数函数的图象及应用 例1 1 若函数y logax a 0且a 1 的图象如图所示 则下列函数图象正确的是 师生共研 解析由题意y logax a 0且a 1 的图象过 3 1 点 可解得a 3
7、选项B中 y x3 由幂函数图象性质可知正确 选项C中 y x 3 x3 显然与所画图象不符 选项D中 y log3 x 的图象与y log3x的图象关于y轴对称 显然不符 故选B 解析构造函数f x 4x和g x logax 当a 1时不满足条件 若本例 2 变为方程4x logax在上有解 则实数a的取值范围为 1 对一些可通过平移 对称变换作出其图象的对数型函数 在求解其单调性 单调区间 值域 最值 零点时 常利用数形结合思想求解 2 一些对数型方程 不等式问题常转化为相应的函数图象问题 利用数形结合法求解 跟踪训练1 1 2018 浙江台州三区三校适应性考试 若loga2 logb2
8、0 则下列结论正确的是A 0 a b 1B 0 b a 1C a b 1D b a 1 解析方法一由loga2 logb2 0 又函数y log2x是增函数 所以0 b a 1 故选B 方法二由对数函数的性质可知 0 a 1 0 b 1 排除C D 满足loga2 logb2 0 故b a 故选B 2 已知函数f x 且关于x的方程f x x a 0有且只有一个实根 则实数a的取值范围是 1 解析如图 在同一坐标系中分别作出y f x 与y x a的图象 其中a表示直线在y轴上的截距 由图可知 当a 1时 直线y x a与y log2x只有一个交点 题型三对数函数的性质及应用 命题点1比较对数
9、值的大小 例2设a log412 b log515 c log618 则A a b cB b c aC a c bD c b a 多维探究 解析a 1 log43 b 1 log53 c 1 log63 log43 log53 log63 a b c 命题点2解对数方程 不等式 例3 1 方程log2 x 1 2 log2 x 1 的解为 解析原方程变形为log2 x 1 log2 x 1 log2 x2 1 2 2 已知不等式logx 2x2 1 logx 3x 0成立 则实数x的取值范围是 命题点3对数函数性质的综合应用 例4 1 若函数f x log2 x2 ax 3a 在区间 2 上是
10、减函数 则实数a的取值范围是A 4 B 4 4 C 4 2 D 4 4 解析由题意得x2 ax 3a 0在区间 2 上恒成立且函数y x2 ax 3a在 2 上单调递减 解得实数a的取值范围是 4 4 故选D 利用对数函数的性质 求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题 必须弄清三方面的问题 一是定义域 所有问题都必须在定义域内讨论 二是底数与1的大小关系 三是复合函数的构成 即它是由哪些基本初等函数复合而成的 另外 解题时要注意数形结合 分类讨论 转化与化归思想的应用 跟踪训练2 1 设a log32 b log52 c log23 则A a c bB b c aC c b aD c
11、 a b 解析a log32log22 1 所以c最大 所以c a b 2 若f x lg x2 2ax 1 a 在区间 1 上单调递减 则a的取值范围为 解析令函数g x x2 2ax 1 a x a 2 1 a a2 对称轴为x a 要使函数在 1 上单调递减 1 2 解得1 a 2 即a 1 2 3 已知函数f x loga 8 ax a 0 且a 1 若f x 1在区间 1 2 上恒成立 则实数a的取值范围是 解析当a 1时 f x loga 8 ax 在 1 2 上是减函数 由f x 1在区间 1 2 上恒成立 则f x min f 2 loga 8 2a 1 且8 2a 0 当01
12、在区间 1 2 上恒成立 则f x min f 1 loga 8 a 1 且8 2a 0 a 4 且a 4 故不存在 比较大小问题是每年高考的必考内容之一 1 比较指数式和对数式的大小 可以利用函数的单调性 引入中间量 有时也可用数形结合的方法 2 解题时要根据实际情况来构造相应的函数 利用函数单调性进行比较 若指数相同而底数不同 则构造幂函数 若底数相同而指数不同 则构造指数函数 若引入中间量 一般选0或1 高频小考点 GAOPINXIAOKAODIAN 比较指数式 对数式的大小 例 1 设a 0 50 5 b 0 30 5 c log0 30 2 则a b c的大小关系是A c b aB
13、a b cC b a cD a c b 解析根据幂函数y x0 5的单调性 可得0 30 5log0 30 3 1 即c 1 所以b a c 2 设a 60 4 b log0 40 5 c log80 4 则a b c的大小关系是A a b cB c b aC c a bD b c a 解析 a 60 4 1 b log0 40 5 0 1 c log80 4b c 故选B 3 2018 浙大附中模拟 若实数a b c满足loga2 logb2 logc2 则下列关系中不可能成立的是A a b cB b a cC c b aD a c b 解析由loga2 logb2 logc2的大小关系 可
14、知a b c有四种可能 1 c b a 0 a 1 c b 0 b a 1 c 0 c b a 1 对照选项可知A中关系不可能成立 4 2018 全国 设a log0 20 3 b log20 3 则A a b ab 0B ab a b 0C a b 0 abD ab 0 a b 解析 a log0 20 3 log0 21 0 b log20 3 log21 0 ab 0 1 log0 30 3 log0 30 4 log0 31 0 3 课时作业 PARTTHREE 1 log29 log34等于 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2
15、 2018 杭州教学质检 设函数f x lnx e为自然对数的底数 满足f a f b a b 则A ab eeB ab eC ab D ab 1 解析 lna lnb 且a b lna lnb ab 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析因为log30 2 0 0 0 23 1 30 2 1 所以log30 2 0 23 30 2 故选A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 2019 丽水模拟 下列不等式正确的是A log30 2 0 23 30 2B log30 2 30 2 0 23C 0 23
16、 log30 2 30 2D 30 2 log30 2 0 23 4 2018 浙江名校协作体联考 若a b 1 0 c 1 则A ac bcB abc bacC alogbc blogacD logac logbc 解析因为a b 1 0 c 1 所以cb ca 则blogac logacb logbcb logbca alogbc 故选C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 从而lgm lgn lg2 1 当且仅当m 10 n 5时 等号成立 故选A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以t 0 2 则问题可转化为对任意的t 0 2 t2 at 4 6恒成立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以ymin 1 2 1 所以a 1 即实数a的最大值为 1 故选A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 ee 1 2 3 4 5 6 7 8
