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1、第62练 高考大题突破练立体几何基础保分练1.(2019杭州二中模拟)如图,ABC中,ABAC2,BAC120,D为线段BC上一点,且DCBC,让ADC绕直线AD翻折到ADC且使ACBC.(1)在线段BC上是否存在一点E,使平面AEC平面ABC?请证明你的结论;(2)求直线CD与平面ABC所成的角.2.(2019衢州模拟)已知三棱台ABCA1B1C1的下底面ABC是边长2的正三角形,上底面A1B1C1是边长为1的正三角形.A1在下底面的射影为ABC的重心,且A1BA1C.(1)证明:A1B平面ACC1A1;(2)求直线CB1与平面ACC1A1所成角的正弦值.3.(2019萧山中学模拟)如图,已
2、知直角梯形ABCD和正方形BCEF,二面角ABCE的大小为120,且满足ABCD,ADAB,ADDCAB2,点M,H分别是线段EF,AE的中点,点N是线段AF上异于A,F的点.(1)求证:CH平面AEF;(2)求直线MN与平面BCEF所成角的最大值.能力提升练4.如图,已知四边形ABCD是正方形,EA平面ABCD,PDEA,ADPD2EA2,F,G,H分别为BP,BE,PC的中点.(1)求证:FG平面PDE;(2)求证:平面FGH平面ABE;(3)在线段PC上是否存在一点M,使PB平面EFM?若存在,求出线段PM的长;若不存在,请说明理由.答案精析基础保分练1解(1)存在BC的中点E,使平面A
3、EC平面ABC,取BC的中点E,由题意知AEBC,又因为ACBC,AEACA,所以BC平面AEC,因为BC平面ABC,所以平面AEC平面ABC.(2)在平面ACE中,过点C作CHAE交AE的延长线于点H,连接HD.由(1)知,CH平面ABC,所以CDH即为直线CD与平面ABC所成的角由ABAC2,BAC120,得BC2,DC,ED,EC,在AEC中,由余弦定理得cosAEC,所以cosHEC,sinHEC,所以HCECsinHEC,所以sinHDC,所以直线CD与平面ABC所成的角为60.2(1)证明记ABC的重心为G,连接BG并延长交AC于点M.因为底面ABC为正三角形,所以BGAC,又点A
4、1在底面上的射影为G,所以A1G平面ABC,所以A1GAC,因为A1GBGG,A1G平面A1BG,BG平面A1BG,所以AC平面A1BG,又A1B平面A1BG,所以ACA1B.又A1BA1C,且A1CACC,A1C平面A1AC,AC平面A1AC,所以A1B平面A1AC,因此,A1B平面ACC1A1.(2)解由于ABCA1B1C1为棱台,设三侧棱延长交于一点D.因为AB2A1B12,则A1,B1分别为棱AD,BD的中点又G为正ABC的重心,则BM,CGBGBM,GMBM.因为A1B平面ACC1A1,所以A1BA1M,故在RtA1BM中,A1GBM,由三角形相似,得A1G2BGGM,A1B2BGB
5、M2.取A1D的中点H,连接B1H,CH,则B1HA1B,且B1HA1B,故B1H平面ACC1A1,即B1CH即为直线CB1与平面ACC1A1所成的角又,且GCBA,A1GBA,B1A1BA,所以,又,所以22223,即B1C,所以sinB1CH,即直线CB1与平面ACC1A1所成角的正弦值为.3(1)证明由题可得AC2,CEBC2,ACCE.又H是AE的中点,CHAE.AC2BC2AB2,ACBC,ACEF.CEEF,ACEF,ACCEC,EF平面ACE.HC平面ACE,EFHC,又EFAEE,CH平面AEF.(2)解方法一过点A作AKCE,垂足为K,连接KF,过点N作NLAK,交KF为L,
6、连接ML,EF平面ACE,平面EFK平面ACE,又平面EFK平面ACECE,AK平面ACE,AK平面EFK,NL平面EFK,NML就是直线MN与平面BCEF所成的角设FLx,AK,KF,则NLx,ML2FL2FM22FMFLcosMFLx2x2,tanNML,x(0,),当时,(tanNML)max,直线MN与平面BCEF所成角的最大值是.方法二以点C为原点,分别以CA,CB所在直线为x轴、y轴,过点C垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系,C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),E(,0,),(,0,)(0,2,0)(,2,),F(,2,),M(,)设n(x,y,z)
7、是平面BCEF的法向量,由即令z1,得n(,0,1)设|(01),(2,0,0)(3,2,)(23,2,),(33,2,),sin,令x1,x(0,1),则sin,当2,即x,时取等号的最大值是.能力提升练4(1)证明因为F,G分别为PB,BE的中点,所以FGPE.又FG平面PDE,PE平面PDE,所以FG平面PDE.(2)证明因为EA平面ABCD,CB平面ABCD,所以EACB.又CBAB,ABAEA,所以CB平面ABE.由已知F,H分别为线段PB,PC的中点,所以FHBC,则FH平面ABE.又FH平面FGH,所以平面FGH平面ABE.(3)解在线段PC上存在一点M,使PB平面EFM.证明如下:如图,在PC上取一点M,连接EF,EM,FM.在RtAEB中,因为AE1,AB2,所以BE.在直角梯形EADP中,因为AE1,ADPD2,所以PE,所以PEBE.又F为PB的中点,所以EFPB.要使PB平面EFM,只需使PBFM.因为EACB,PDAE,所以PDCB,又CBCD,PDCDD,PD,CD平面PCD,所以CB平面PCD,而PC平面PCD,所以CBPC.若PBFM,则PFMPCB,可得.由已知可求得PB2,PF,PC2,所以PM.故在线段PC上存在一点M,当PM时,使得PB平面EFM.11