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1、第62练 高考大题突破练立体几何基础保分练1.(2019杭州二中模拟)如图，ABC中，ABAC2，BAC120，D为线段BC上一点，且DCBC，让ADC绕直线AD翻折到ADC且使ACBC.(1)在线段BC上是否存在一点E，使平面AEC平面ABC？请证明你的结论；(2)求直线CD与平面ABC所成的角.2.(2019衢州模拟)已知三棱台ABCA1B1C1的下底面ABC是边长2的正三角形，上底面A1B1C1是边长为1的正三角形.A1在下底面的射影为ABC的重心，且A1BA1C.(1)证明：A1B平面ACC1A1；(2)求直线CB1与平面ACC1A1所成角的正弦值.3.(2019萧山中学模拟)如图，已
2、知直角梯形ABCD和正方形BCEF，二面角ABCE的大小为120，且满足ABCD，ADAB，ADDCAB2，点M，H分别是线段EF，AE的中点，点N是线段AF上异于A，F的点.(1)求证：CH平面AEF；(2)求直线MN与平面BCEF所成角的最大值.能力提升练4.如图，已知四边形ABCD是正方形，EA平面ABCD，PDEA，ADPD2EA2，F，G，H分别为BP，BE，PC的中点.(1)求证：FG平面PDE；(2)求证：平面FGH平面ABE；(3)在线段PC上是否存在一点M，使PB平面EFM？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由.答案精析基础保分练1解(1)存在BC的中点E，使平面A
3、EC平面ABC，取BC的中点E，由题意知AEBC，又因为ACBC，AEACA，所以BC平面AEC，因为BC平面ABC，所以平面AEC平面ABC.(2)在平面ACE中，过点C作CHAE交AE的延长线于点H，连接HD.由(1)知，CH平面ABC，所以CDH即为直线CD与平面ABC所成的角由ABAC2，BAC120，得BC2，DC，ED，EC，在AEC中，由余弦定理得cosAEC，所以cosHEC，sinHEC，所以HCECsinHEC，所以sinHDC，所以直线CD与平面ABC所成的角为60.2(1)证明记ABC的重心为G，连接BG并延长交AC于点M.因为底面ABC为正三角形，所以BGAC，又点A
4、1在底面上的射影为G，所以A1G平面ABC，所以A1GAC，因为A1GBGG，A1G平面A1BG，BG平面A1BG，所以AC平面A1BG，又A1B平面A1BG，所以ACA1B.又A1BA1C，且A1CACC，A1C平面A1AC，AC平面A1AC，所以A1B平面A1AC，因此，A1B平面ACC1A1.(2)解由于ABCA1B1C1为棱台，设三侧棱延长交于一点D.因为AB2A1B12，则A1，B1分别为棱AD，BD的中点又G为正ABC的重心，则BM，CGBGBM，GMBM.因为A1B平面ACC1A1，所以A1BA1M，故在RtA1BM中，A1GBM，由三角形相似，得A1G2BGGM，A1B2BGB
5、M2.取A1D的中点H，连接B1H，CH，则B1HA1B，且B1HA1B，故B1H平面ACC1A1，即B1CH即为直线CB1与平面ACC1A1所成的角又，且GCBA，A1GBA，B1A1BA，所以，又，所以22223，即B1C，所以sinB1CH，即直线CB1与平面ACC1A1所成角的正弦值为.3(1)证明由题可得AC2，CEBC2，ACCE.又H是AE的中点，CHAE.AC2BC2AB2，ACBC，ACEF.CEEF，ACEF，ACCEC，EF平面ACE.HC平面ACE，EFHC，又EFAEE，CH平面AEF.(2)解方法一过点A作AKCE，垂足为K，连接KF，过点N作NLAK，交KF为L，
6、连接ML，EF平面ACE，平面EFK平面ACE，又平面EFK平面ACECE，AK平面ACE，AK平面EFK，NL平面EFK，NML就是直线MN与平面BCEF所成的角设FLx，AK，KF，则NLx，ML2FL2FM22FMFLcosMFLx2x2，tanNML，x(0，)，当时，(tanNML)max，直线MN与平面BCEF所成角的最大值是.方法二以点C为原点，分别以CA，CB所在直线为x轴、y轴，过点C垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，C(0,0,0)，A(2，0,0)，B(0,2，0)，E(，0，)，(，0，)(0,2，0)(，2，)，F(，2，)，M(，)设n(x，y，z)
7、是平面BCEF的法向量，由即令z1，得n(，0,1)设|(01)，(2，0,0)(3，2，)(23，2，)，(33，2，)，sin，令x1，x(0,1)，则sin，当2，即x，时取等号的最大值是.能力提升练4(1)证明因为F，G分别为PB，BE的中点，所以FGPE.又FG平面PDE，PE平面PDE，所以FG平面PDE.(2)证明因为EA平面ABCD，CB平面ABCD，所以EACB.又CBAB，ABAEA，所以CB平面ABE.由已知F，H分别为线段PB，PC的中点，所以FHBC，则FH平面ABE.又FH平面FGH，所以平面FGH平面ABE.(3)解在线段PC上存在一点M，使PB平面EFM.证明如下：如图，在PC上取一点M，连接EF，EM，FM.在RtAEB中，因为AE1，AB2，所以BE.在直角梯形EADP中，因为AE1，ADPD2，所以PE，所以PEBE.又F为PB的中点，所以EFPB.要使PB平面EFM，只需使PBFM.因为EACB，PDAE，所以PDCB，又CBCD，PDCDD，PD，CD平面PCD，所以CB平面PCD，而PC平面PCD，所以CBPC.若PBFM，则PFMPCB，可得.由已知可求得PB2，PF，PC2，所以PM.故在线段PC上存在一点M，当PM时，使得PB平面EFM.11
