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1、高 中 数 学 知 识 点 总 结 第 2 页 共 102 页 引言 1 课程内容 必修课程 由 5 个模块组成 必修 1 集合 函数概念与基本初等函数 指 对 幂函数 必修 2 立体几何初步 平面解析几何初步 必修 3 算法初步 统计 概率 必修 4 基本初等函数 三角函数 平面向量 三角恒等变换 必修 5 解三角形 数列 不等式 以上是每一个高中学生所必须学习的 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分 其中包括集合 函数 数列 不等式 解三角形 立体几何初步 平面解析几何初步等 不同的是在保证打好基础的同时 进一步强调了这些知识的发生 发展过程和实际应用 而不在技巧与
2、难度上做过高的要求 此外 基础内容还增加了向量 算法 概率 统计等内容 选修课程 有 4 个系列 系列 1 由 2 个模块组成 选修 1 1 常用逻辑用语 圆锥曲线与方程 导数及其应用 选修 1 2 统计案例 推理与证明 数系的扩充与复数 框图 系列 2 由 3 个模块组成 选修 2 1 常用逻辑用语 圆锥曲线与方程 空间向量与立体几何 选修 2 2 导数及其应用 推理与证明 数系的扩充与复数 选修 2 3 计数原理 随机变量及其分布列 统计案例 系列 3 由 6 个专题组成 选修 3 1 数学史选讲 选修 3 2 信息安全与密码 选修 3 3 球面上的几何 选修 3 4 对称与群 选修 3
3、5 欧拉公式与闭曲面分类 选修 3 6 三等分角与数域扩充 系列 4 由 10 个专题组成 选修 4 1 几何证明选讲 选修 4 2 矩阵与变换 选修 4 3 数列与差分 第 3 页 共 102 页 选修 4 4 坐标系与参数方程 选修 4 5 不等式选讲 选修 4 6 初等数论初步 选修 4 7 优选法与试验设计初步 选修 4 8 统筹法与图论初步 选修 4 9 风险与决策 选修 4 10 开关电路与布尔代数 2 重难点及考点 重点 函数 数列 三角函数 平面向量 圆锥曲线 立体几何 导数 难点 函数 圆锥曲线 高考相关考点 集合与简易逻辑 集合的概念与运算 简易逻辑 充要条件 函数 映射与
4、函数 函数解析式与定义域 值域与最值 反函数 三大性质 函数图象 指数与 指数函数 对数与对数函数 函数的应用 数列 数列的有关概念 等差数列 等比数列 数列求和 数列的应用 三角函数 有关概念 同角关系与诱导公式 和 差 倍 半公式 求值 化简 证明 三角函 数的图象与性质 三角函数的应用 平面向量 有关概念与初等运算 坐标运算 数量积及其应用 不等式 概念与性质 均值不等式 不等式的证明 不等式的解法 绝对值不等式 不等式的应 用 直线和圆的方程 直线的方程 两直线的位置关系 线性规划 圆 直线与圆的位置关系 圆锥曲线方程 椭圆 双曲线 抛物线 直线与圆锥曲线的位置关系 轨迹问题 圆锥曲线
5、的应 用 直线 平面 简单几何体 空间直线 直线与平面 平面与平面 棱柱 棱锥 球 空间向量 排列 组合和概率 排列 组合应用题 二项式定理及其应用 概率与统计 概率 分布列 期望 方差 抽样 正态分布 导数 导数的概念 求导 导数的应用 复数 复数的概念与运算 第 4 页 共 102 页 高中数学必修 1 知识点 第一章集合与函数概念 1 1 集合 1 1 1 集合的含义与表示 1 集合的概念 集合中的元素具有确定性 互异性和无序性 2 常用数集及其记法 N表示自然数集 N或N 表示正整数集 Z表示整数集 Q表示有理数集 R表示实数集 3 集合与元素间的关系 对象a与集合 M 的关系是aM
6、或者aM 两者必居其一 4 集合的表示法 自然语言法 用文字叙述的形式来描述集合 列举法 把集合中的元素一一列举出来 写在大括号内表示集合 描述法 x x具有的性质 其中x为集合的代表元素 图示法 用数轴或韦恩图来表示集合 5 集合的分类 含有有限个元素的集合叫做有限集 含有无限个元素的集合叫做无限集 不含有任何元素的集合叫做 空集 1 1 2 集合间的基本关系 6 子集 真子集 集合相等 名称记号意义性质示意图 子集 BA 或 AB A 中的任一元素都 属于 B 1 AA 2 A 3 若BA且BC 则AC 4 若BA且BA 则AB A B 或 BA 真子集 AB 或 BA BA 且 B 中至
7、 少有一元素不属于 A 1 A A 为非空子集 2 若AB且BC 则AC BA 集合 相等 AB A 中的任一元素都 属于 B B 中的任 一元素都属于A 1 AB 2 BA A B 7 已知集合A有 1 n n个元素 则它有2 n 个子集 它有21 n 个真子集 它有2 1 n 个非空子集 它有2 2 n 非空真子集 1 1 3 集合的基本运算 8 交集 并集 补集 名称记号意义性质示意图 交集 AB x xA且 xB 1 AAA 2 A 3 ABA ABB BA 第 5 页 共 102 页 并集 AB x xA或 xB 1 AAA 2 AA 3 ABA ABB B A 补集 UA e x
8、xUxA且 1 U AAe 2 U AAUe 补充知识 含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 1 含绝对值的不等式的解法 不等式解集 0 xa a xaxa 0 xa a x xa或 xa 0 axbc axbc c 把axb看 成 一 个 整 体 化 成 xa 0 xa a型不等式来求解 2 一元二次不等式的解法 判别式 2 4bac 000 二次函数 2 0 yaxbxc a 的图象 O 一元二次方程 2 0 0 axbxca 的根 2 1 2 4 2 bbac x a 其中 12 xx 12 2 b xx a 无实根 2 0 0 axbxca 的解集 1 x xx或 2 xx x 2
9、b x a R 2 0 0 axbxca 的解集 12 x xxx 1 2 函数及其表示 1 2 1 函数的概念 1 函数的概念 设A B是两个非空的数集 如果按照某种对应法则f 对于集合A中任何一个数x 在集合B中都有 唯一确定的数 fx和它对应 那么这样的对应 包括集合 A B以及A到B的对应法则f 叫做集合 A到 UUU ABAB痧 UUU ABAB痧 第 6 页 共 102 页 B的一个函数 记作 fAB 函数的三要素 定义域 值域和对应法则 只有定义域相同 且对应法则也相同的两个函数才是同一函数 2 区间的概念及表示法 设 a b是两个实数 且ab 满足axb的实数x的集合叫做闭区间
10、 记做 a b 满足axb的 实数x的集合叫做开区间 记做 a b 满足axb 或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间 分 别记 做 a b a b 满足 xaxaxbxb的 实数x的集 合 分 别记 做 aabb 注意 对于集合 x axb与区间 a b 前者a可以大于或等于b 而后者必须 ab 前者可以不成立 为空集 而后者必须成立 3 求函数的定义域时 一般遵循以下原则 f x是整式时 定义域是全体实数 f x是分式函数时 定义域是使分母不为零的一切实数 f x是偶次根式时 定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合 对数函数的真数大于零 当对数或指数函数的底数中含变量时 底数须大于零且不
11、等于1 tanyx中 2 xkkZ 零 负 指数幂的底数不能为零 若 f x是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时 则其定义域一般是各基本初等函数的定义 域的交集 对于求复合函数定义域问题 一般步骤是 若已知 f x的定义域为 a b 其复合函数 f g x的定义域 应由不等式 ag xb解出 对于含字母参数的函数 求其定义域 根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论 由实际问题确定的函数 其定义域除使函数有意义外 还要符合问题的实际意义 4 求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的 事实上 如果在函数的值域中存在一个最小 大 数 这个数就是函数的最小
12、大 值 因此求函数的最值与值域 其实质是相同的 只是提问的角度 不同 求函数值域与最值的常用方法 观察法 对于比较简单的函数 我们可以通过观察直接得到值域或最值 配方法 将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和 然后根据变量的取值范围确定函数的值域或 最值 判别式法 若函数 yf x可以化成一个系数含有 y的关于x的二次方程 2 0a y xb y xc y 则 在 0a y时 由于 x y为实数 故必须有 2 4 0bya yc y 从而确定函数的值域或最值 第 7 页 共 102 页 不等式法 利用基本不等式确定函数的值域或最值 换元法 通过变量代换达到化繁为简 化难为易的目的 三角代
13、换可将代数函数的最值问题转化为三角函 数的最值问题 反函数法 利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值 数形结合法 利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值 函数的单调性法 1 2 2 函数的表示法 5 函数的表示方法 表示函数的方法 常用的有解析法 列表法 图象法三种 解析法 就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 列表法 就是列出表格来表示两个变量之间的对 应关系 图象法 就是用图象表示两个变量之间的对应关系 6 映射的概念 设A B是两个集合 如果按照某种对应法则f 对于集合A中任何一个元素 在集合B中都有唯一的 元素和它对应 那么这样的对应 包括集合 A
14、B以及A到B的对应法则f 叫做集合 A到B的映射 记 作 fAB 给定一个集合 A到集合B的映射 且 aA bB 如果元素a和元素b对应 那么我们把元素b叫做元 素a的象 元素a叫做元素b的原象 1 3 函数的基本性质 1 3 1 单调性与最大 小 值 1 函数的单调性 定义及判定方法 函数的 性 质 定义图象判定方法 函数的 单调性 如果对于属于定义域I 内 某个区间上的任意两个 自变量的值x1 x2 当 x 1 x 2 时 都有 f x 1 f x 2 那么就说f x 在这个区 间上是 增函数 x1x2 y f X x y f x 1 f x 2 o 1 利用定义 2 利用已知函数 的单调
15、性 3 利用函数图象 在某个区间图 象上升为增 4 利用复合函数 如果对于属于定义域I 内 某个区间上的任意两个 自变量的值x1 x2 当 x 1 f x 2 那么就说f x 在这个区 间上是 减函数 y f X y x o xx2 f x f x 2 1 1 1 利用定义 2 利用已知函数 的单调性 3 利用函数图象 在某个区间图 象下降为减 4 利用复合函数 在公共定义域内 两个增函数的和是增函数 两个减函数的和是减函数 增函数减去一个减函数为增函数 减函数减去一个增函数为减函数 对于复合函数 yf g x 令 ug x 若 yf u为增 ug x为增 则 yf g x为增 若 yf u为
16、减 ug x为减 则 yf g x为增 若 yf u为增 ug x为减 则 yf g x为 第 8 页 共 102 页 减 若 yf u为减 ug x为增 则 yf g x为减 2 打 函数 0 a fxxa x 的图象与性质 f x分别在 a a上为增函数 分别在 0 a 0 a上为减函数 3 最大 小 值定义 一般地 设函数 yf x的定义域为I 如果存在实数M 满足 1 对于任意的xI 都有 f xM 2 存在 0 xI 使得 0 f xM 那么 我们称M是函 数 f x的最大值 记作 max fxM 一般地 设函数 yf x的定义域为I 如果存在实数m满足 1 对于任意的xI 都有 f xm 2 存在 0 xI 使得 0 f xm 那么 我们称m是函数 f x的最小值 记作 max fxm 1 3 2 奇偶性 4 函数的奇偶性 定义及判定方法 函数的 性 质 定义图象判定方法 函数的 奇偶性 如果对于函数f x 定义 域内任意一个x 都有 f x f x 那么函数 f x 叫做 奇函数 1 利用定义 要 先判断定义域是否 关于原点对称 2 利用图象 图 象关于原点对称 如果对于
