高中数学第三章导数及其应用微专题突破五利用导数求切线方程课件新人教B版选修1_1.ppt

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1、专题突破五利用导数求切线方程 第三章导数及其应用 曲线的切线问题是高考的常见题型之一 而导数f x0 的几何意义为曲线y f x 在点P x0 f x0 处的切线的斜率 所以利用导数解决相切问题是常用的方法 下面对 求过一点的切线方程 的题型做以下归纳 一 已知切点 求曲线的切线方程此类题只需求出曲线的导数f x 并代入点斜式方程即可 例1已知f x 为偶函数 当x 0时 f x e x 1 x 则曲线y f x 在点 1 2 处的切线方程是 2x y 0 解析设x 0 则 x 0 f x ex 1 x 因为f x 为偶函数 所以f x ex 1 x f x ex 1 1 f 1 2 y 2

2、2 x 1 即y 2x 点评本题可以先利用分段型奇偶性原则 求出函数的解析式 再求函数切线 或者利用原函数与导函数的关系来求解 跟踪训练1曲线在点 1 1 处的切线方程为A y x 2B y 3x 2C y 2x 3D y 2x 1 故所求切线的方程为y 1 2 x 1 即y 2x 1 二 已知过某点 求切线方程过某点的切线 该点未必是切点 故应先设切点 再求切点 即用待定切点法 例2求过曲线f x x3 2x上的点 1 1 的切线方程 解设P x0 y0 为切点 又知切线过点 1 1 故所求切线方程为y 1 2 3 2 x 1 即x y 2 0或5x 4y 1 0 点评可以发现直线5x 4y

3、 1 0并不以 1 1 为切点 实际上是经过点 1 1 且以为切点的直线 这说明过曲线上一点的切线 该点未必是切点 跟踪训练2求过点 2 0 且与曲线f x 相切的直线方程 解设P x0 y0 为切点 又已知切线过点 2 0 代入上述方程 三 求两条曲线的公切线例3 2018 河南南阳一中月考 若存在过点 1 0 的直线与曲线y x3和y ax2 x 9 a 0 都相切 1 求切线方程 解因为y x3 所以y 3x2 2 求实数a的值 点评本例是先求过某点的切线方程 由切线与另一曲线 抛物线相切 利用判别式 0即可求得参数 直线l的斜率为k f 1 1 又f 1 0 切线l的方程为y x 1

4、g x x m 设直线l与g x 的图象的切点为 x0 y0 于是解得m 2 1 2 3 4 5 针对训练 ZHENDUIXUNLIAN 6 1 函数f x exlnx的图象在点 1 f 1 处的切线方程是A y 2e x 1 B y ex 1C y e x 1 D y x e 解析 f x exlnx f 1 e 又f 1 0 在 1 0 处的切线方程为y e x 1 1 2 3 4 5 6 2 已知f x ex x 则过原点与f x 图象相切的直线方程是A y e 1 xB y exC y xD y e2x 解析设切点坐标为 x0 x0 由题意可得切线斜率k f x0 1 所以切线方程为y

5、 1 x 由 x0 1 x0 解得x0 1 所以切线方程为y e 1 x 1 2 3 4 5 6 3 过点P 3 9 与曲线y 2x2 7相切的切线的方程为 8x y 15 0或16x y 39 0 1 2 3 4 5 6 解析令y f x 2x2 7 则f x 4x 由点P 3 9 不在曲线上 设所求切线的切点为A x0 y0 则切线的斜率k 4x0 故所求的切线方程为y y0 4x0 x x0 解得x0 2或4 故切点为 2 1 或 4 25 从而所求切线方程为8x y 15 0或16x y 39 0 1 2 3 4 5 6 4 已知f x 为偶函数 当x 0时 f x ln x 3x 则

6、曲线y f x 在点 1 3 处的切线方程是 2x y 1 0 解析设x 0 则 x 0 f x lnx 3x 切线方程为y 2x 1 即2x y 1 0 1 2 3 4 5 6 5 已知函数y x2lnx x 0 1 求这个函数的图象在x 1处的切线方程 解函数y x2lnx的导数为y 2xlnx x 函数的图象在x 1处的切线斜率为2ln1 1 1 切点为 1 0 可得切线的方程为y 0 x 1 即x y 1 0 1 2 3 4 5 6 2 若过点 0 0 的直线l与这个函数的图象相切 求直线l的方程 解设切点为 m m2lnm 可得切线的斜率为2mlnm m 则切线的方程为y m2lnm

7、 2mlnm m x m 由于切线过点 0 0 m2lnm 2mlnm m m 由m 0 可得 lnm 2lnm 1 所以直线l的方程为x ey 0 1 2 3 4 5 6 1 求证 过点M可作两条直线 分别与双曲线C的两支相切 1 2 3 4 5 6 要证明命题成立 只需要证明关于t的方程y x t kMQ有两个符号相反的实根 因为 4m2 4m 0 所以方程t2 2mt m 0有两个不相等实根 设两根分别为t1与t2 则由t1t2 m 0 知t1 t2是符号相反的实数 且t1 t2均不等于0与1 命题得证 1 2 3 4 5 6 2 设 1 中的两个切点分别为A B 求证 直线AB的斜率为定值 即直线AB的斜率为定值 1

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