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1、44一元线性回归案例读教材填要点1相关系数(1)定义：样本量是n的成对观测数据用(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)表示，用表示数据x1，x2，xn，用表示数据y1，y2，yn，用与分别表示和的均值，用sx表示的标准差，用sy表示的标准差，再引入sxy .当sxsy0时，称rxy为和的相关系数当rxy0，我们称和正相关；当rxy0.8时，认为有很强的相关关系2在一元线性回归模型中，变量y由变量x唯一确定吗？提示：不唯一y值由x和随机误差e共同确定，即自变量x只能解释部分y的变化3随机误差e产生的主要原因有哪些？提示：随机误差e产生的主要原因有：(1)所用的确定性函数不恰当引起的误差；
2、(2)忽略了某些因素的影响；(3)存在观测误差4回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实值吗？为什么？提示：不一定是真实值利用线性回归方程求的值，在很多时候是个预报值，例如，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除了受身高的影响外，还受其他因素的影响，如饮食，是否喜欢运动等相关性检验 在某种产品表面进行腐蚀性刻线实验，得到腐蚀深度Y与腐蚀时间X之间相应的一组观察值，如下表：X(s)5101520304050607090120Y(m)610101316171923252946用散点图及相关系数两种方法判断X与Y的相关性自主解答(1)作出如图所示的散点图从散点图可看出腐蚀深度Y(m)与
3、腐蚀时间X(s)之间存在着较强的线性相关关系(2)相关系数rxy，其中sxy 362.562.sx34.515 8，sy10.697 1.rxy0.98.显然|rxy|0.8，所以腐蚀深度Y与腐蚀时间X之间有很强的线性相关关系判断两个变量X和Y线性相关的方法：(1)画出散点图，呈条状分布，则X与Y线性相关(2)用公式求出相关系数，据其判断X与Y的相关性如果|rxy|0.8，则有很强的线性相关关系1要分析学生初中升学的数学成绩对高中一年级数学学习有什么影响，在高中一年级学生中随机抽选10名学生，分析他们入学的数学成绩(x)和高中一年级期末数学考试成绩(y)(如表)：编号12345678910x6
4、3674588817152995876y65785282928973985675用散点图及相关系数两种方法判断x与y的相关性解：(1)入学成绩(x)与高一期末考试成绩(y)两组变量的散点图(如图)，从散点图看，这两组变量具有线性相关关系 (2)因为70，76，sxy189.4，sx15.729，sy14.339.由rxy，得rxy0.839 80.8.所以x与y有较强的线性关系线性回归分析 为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的系列情况，得如下实验数据：天数t(天)34567繁殖个数y(千个)2.5344.56(1)求y关于t的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，预测t8时，细菌繁殖
5、个数自主解答(1)由表中数据得5，4， yi108.5，则Styt1.7，S2.b0.85，ab0.25，回归方程式为y0.85t0.25.(2)将t8代入(1)的回归方程中得y0.8580.256.55.故预测t8时，细菌繁殖个数为6.55千个进行线性回归分析的关键是画出样本点的散点图，确定出变量具有线性相关关系，再求出回归直线方程如果x，y的线性相关关系具有统计意义，就可以用线性回归方程来作预测和控制2某饮料店的日销售收入y(单位：百元)与当天平均气温x(单位：摄氏度)之间有下列 数据：x21012y54221甲、乙、丙三位同学对上述数据进行了研究，分别得到了x与y之间的三个线性回归方程：
6、yx2.8，yx3，y1.2x2.6.其中正确的是()ABCD解析：回归方程ybxa表示的直线必过点(，)，即必过点(0,2.8)，而给出的三个线性回归方程中，只有表示的直线过点(0,2.8)，故正确的是.答案：A一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得数据如下：零件数x(个)102030405060708090100加工时间y(分)626875818995102108115122(1)y与x是否具有线性相关关系？(2)如果y与x具有线性相关关系，求回归直线方程巧思(1)利用相关系数rxy判断；(2)利用最小二乘法求得a，b的值，进而求得回归方程妙解(
7、1)列出下表，并用科学计算器进行计算.i12345678910xi102030405060708090100yi626875818995102108115122xiyi6201 3602 2503 2404 4505 7007 1408 64010 35012 200于是rxy0.999 8.所以y与x具有线性相关关系(2)设所求的回归直线方程为ybxa，那么由上表可得b0.668，ab91.70.6685554.96，即所求的回归直线方程为y0.668x54.96.1在对两个变量x，y进行线性回归分析时，有下列步骤：对所求出的回归直线方程作出解释；收集数据(xi，yi)，i1,2，n；求线性
8、回归方程；求相关系数；根据所搜集的数据绘制散点图如果根据可行性要求能够作出变量x，y具有线性相关的结论，则在下列操作顺序中正确的是()ABC D解析：对两个变量进行回归分析时，首先收集数据(xi，yi)，i1,2，n；根据所搜集的数据绘制散点图观察散点图的形状，判断线性相关关系的强弱，求相关系数，写出线性回归方程，最后依据所求出的回归直线方程作出解释；故正确顺序是， 故选D.答案：D2已知变量x和y满足关系y0.1x1，变量y与z正相关下列结论中正确的是()Ax与y正相关，x与z负相关Bx与y正相关，x与z正相关Cx与y负相关，x与z负相关Dx与y负相关，x与z正相关解析：因为y0.1x1的斜
9、率小于0，故x与y负相关因为y与z正相关，故x与z负相关答案：C3相关变量x，y的样本数据如下表：x12345y22356经回归分析可得y与x线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为y1.1xa，则a()A0.1B0.2C0.3 D0.4解析：回归直线经过样本中心点(，)，且由题意得(，)(3,3.6)，3.61.13a，a0.3.答案：C4在关于两个变量的回归分析中，作散点图的目的是_答案：观察两个变量之间是否存在线性相关关系5某服装厂的产品产量x(万件)与单位成本y(元/件)之间的回归直线方程是y52.1519.5x，当产量每增加一万件时，单位成本下降_元解析：由回归系数的意义得下降19
10、.5元答案：19.56在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据为：12345价格x1.41.61.822.2需求量y1210753已知iyi62，16.6.(1)画出散点图；(2)求出y对x的回归方程；(3)如价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？(精确到0.01 t)解：(1)散点图如下图所示：(2)因为91.8，377.4，iyi62，16.6，sxy 12.413.320.92.所以b11.5，ab7.411.51.828.1，故y对x的回归方程为y28.111.5x.(3)y28.111.51.96.25(t)一、选择题1下表是x与y之间的一组
11、数据，则y关于x的线性回归方程必过()x0123y1357A.点(2,2)B点(1.5,2)C点(1,2) D点(1.5,4)解析：1.5，4，线性回归方程必过点(1.5,4)答案：D2已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数3，3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为()Ay0.4x2.3 By2x2.4Cy2x9.5 Dy0.3x4.4解析：依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C、D.且直线必过点(3,3.5)代入A、B得A正确答案：A3某咖啡厅为了了解热饮的销售量y(个)与气温x()之间的关系，随机统计了某4天的销售量与气温，并制作了对照表：气温()1813101销售量(个)24343864由表中数据，得线性回归方程y2xa.当气温为4 时，预测销售量约为()A68 B66C72 D70解析：(1813101)10，(243
