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1、44一元线性回归案例读教材填要点1相关系数(1)定义:样本量是n的成对观测数据用(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)表示,用表示数据x1,x2,xn,用表示数据y1,y2,yn,用与分别表示和的均值,用sx表示的标准差,用sy表示的标准差,再引入sxy .当sxsy0时,称rxy为和的相关系数当rxy0,我们称和正相关;当rxy0.8时,认为有很强的相关关系2在一元线性回归模型中,变量y由变量x唯一确定吗?提示:不唯一y值由x和随机误差e共同确定,即自变量x只能解释部分y的变化3随机误差e产生的主要原因有哪些?提示:随机误差e产生的主要原因有:(1)所用的确定性函数不恰当引起的误差;
2、(2)忽略了某些因素的影响;(3)存在观测误差4回归分析中,利用线性回归方程求出的函数值一定是真实值吗?为什么?提示:不一定是真实值利用线性回归方程求的值,在很多时候是个预报值,例如,人的体重与身高存在一定的线性关系,但体重除了受身高的影响外,还受其他因素的影响,如饮食,是否喜欢运动等相关性检验 在某种产品表面进行腐蚀性刻线实验,得到腐蚀深度Y与腐蚀时间X之间相应的一组观察值,如下表:X(s)5101520304050607090120Y(m)610101316171923252946用散点图及相关系数两种方法判断X与Y的相关性自主解答(1)作出如图所示的散点图从散点图可看出腐蚀深度Y(m)与
3、腐蚀时间X(s)之间存在着较强的线性相关关系(2)相关系数rxy,其中sxy 362.562.sx34.515 8,sy10.697 1.rxy0.98.显然|rxy|0.8,所以腐蚀深度Y与腐蚀时间X之间有很强的线性相关关系判断两个变量X和Y线性相关的方法:(1)画出散点图,呈条状分布,则X与Y线性相关(2)用公式求出相关系数,据其判断X与Y的相关性如果|rxy|0.8,则有很强的线性相关关系1要分析学生初中升学的数学成绩对高中一年级数学学习有什么影响,在高中一年级学生中随机抽选10名学生,分析他们入学的数学成绩(x)和高中一年级期末数学考试成绩(y)(如表):编号12345678910x6
4、3674588817152995876y65785282928973985675用散点图及相关系数两种方法判断x与y的相关性解:(1)入学成绩(x)与高一期末考试成绩(y)两组变量的散点图(如图),从散点图看,这两组变量具有线性相关关系 (2)因为70,76,sxy189.4,sx15.729,sy14.339.由rxy,得rxy0.839 80.8.所以x与y有较强的线性关系线性回归分析 为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的系列情况,得如下实验数据:天数t(天)34567繁殖个数y(千个)2.5344.56(1)求y关于t的线性回归方程;(2)利用(1)中的回归方程,预测t8时,细菌繁殖
5、个数自主解答(1)由表中数据得5,4, yi108.5,则Styt1.7,S2.b0.85,ab0.25,回归方程式为y0.85t0.25.(2)将t8代入(1)的回归方程中得y0.8580.256.55.故预测t8时,细菌繁殖个数为6.55千个进行线性回归分析的关键是画出样本点的散点图,确定出变量具有线性相关关系,再求出回归直线方程如果x,y的线性相关关系具有统计意义,就可以用线性回归方程来作预测和控制2某饮料店的日销售收入y(单位:百元)与当天平均气温x(单位:摄氏度)之间有下列 数据:x21012y54221甲、乙、丙三位同学对上述数据进行了研究,分别得到了x与y之间的三个线性回归方程:
6、yx2.8,yx3,y1.2x2.6.其中正确的是()ABCD解析:回归方程ybxa表示的直线必过点(,),即必过点(0,2.8),而给出的三个线性回归方程中,只有表示的直线过点(0,2.8),故正确的是.答案:A一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了10次试验,测得数据如下:零件数x(个)102030405060708090100加工时间y(分)626875818995102108115122(1)y与x是否具有线性相关关系?(2)如果y与x具有线性相关关系,求回归直线方程巧思(1)利用相关系数rxy判断;(2)利用最小二乘法求得a,b的值,进而求得回归方程妙解(
7、1)列出下表,并用科学计算器进行计算.i12345678910xi102030405060708090100yi626875818995102108115122xiyi6201 3602 2503 2404 4505 7007 1408 64010 35012 200于是rxy0.999 8.所以y与x具有线性相关关系(2)设所求的回归直线方程为ybxa,那么由上表可得b0.668,ab91.70.6685554.96,即所求的回归直线方程为y0.668x54.96.1在对两个变量x,y进行线性回归分析时,有下列步骤:对所求出的回归直线方程作出解释;收集数据(xi,yi),i1,2,n;求线性
8、回归方程;求相关系数;根据所搜集的数据绘制散点图如果根据可行性要求能够作出变量x,y具有线性相关的结论,则在下列操作顺序中正确的是()ABC D解析:对两个变量进行回归分析时,首先收集数据(xi,yi),i1,2,n;根据所搜集的数据绘制散点图观察散点图的形状,判断线性相关关系的强弱,求相关系数,写出线性回归方程,最后依据所求出的回归直线方程作出解释;故正确顺序是, 故选D.答案:D2已知变量x和y满足关系y0.1x1,变量y与z正相关下列结论中正确的是()Ax与y正相关,x与z负相关Bx与y正相关,x与z正相关Cx与y负相关,x与z负相关Dx与y负相关,x与z正相关解析:因为y0.1x1的斜
9、率小于0,故x与y负相关因为y与z正相关,故x与z负相关答案:C3相关变量x,y的样本数据如下表:x12345y22356经回归分析可得y与x线性相关,并由最小二乘法求得回归直线方程为y1.1xa,则a()A0.1B0.2C0.3 D0.4解析:回归直线经过样本中心点(,),且由题意得(,)(3,3.6),3.61.13a,a0.3.答案:C4在关于两个变量的回归分析中,作散点图的目的是_答案:观察两个变量之间是否存在线性相关关系5某服装厂的产品产量x(万件)与单位成本y(元/件)之间的回归直线方程是y52.1519.5x,当产量每增加一万件时,单位成本下降_元解析:由回归系数的意义得下降19
10、.5元答案:19.56在一段时间内,分5次测得某种商品的价格x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据为:12345价格x1.41.61.822.2需求量y1210753已知iyi62,16.6.(1)画出散点图;(2)求出y对x的回归方程;(3)如价格定为1.9万元,预测需求量大约是多少?(精确到0.01 t)解:(1)散点图如下图所示:(2)因为91.8,377.4,iyi62,16.6,sxy 12.413.320.92.所以b11.5,ab7.411.51.828.1,故y对x的回归方程为y28.111.5x.(3)y28.111.51.96.25(t)一、选择题1下表是x与y之间的一组
11、数据,则y关于x的线性回归方程必过()x0123y1357A.点(2,2)B点(1.5,2)C点(1,2) D点(1.5,4)解析:1.5,4,线性回归方程必过点(1.5,4)答案:D2已知变量x与y正相关,且由观测数据算得样本平均数3,3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能为()Ay0.4x2.3 By2x2.4Cy2x9.5 Dy0.3x4.4解析:依题意知,相应的回归直线的斜率应为正,排除C、D.且直线必过点(3,3.5)代入A、B得A正确答案:A3某咖啡厅为了了解热饮的销售量y(个)与气温x()之间的关系,随机统计了某4天的销售量与气温,并制作了对照表:气温()1813101销售量(个)24343864由表中数据,得线性回归方程y2xa.当气温为4 时,预测销售量约为()A68 B66C72 D70解析:(1813101)10,(243