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1、14个填空题专项强化练(十二)椭圆、双曲线和抛物线A组题型分类练题型一椭圆的定义及标准方程1设F1,F2是椭圆1的两个焦点,P是椭圆上的点,且PF1PF243,则PF1F2的面积为_解析:因为PF1PF214,又PF1PF243,所以PF18,PF26.因为F1F210,所以PF1PF2.所以SPF1F2PF1PF28624.答案:242一个椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,)是椭圆上一点,且PF1,F1F2,PF2成等差数列,则椭圆方程为_解析:设椭圆的标准方程为1(ab0)由点(2,)在椭圆上,知1.又PF1,F1F2,PF2成等差数列,则PF1PF22F1F2,即22c2
2、a,又c2a2b2,联立得a28,b26.故椭圆方程为1.答案:1临门一脚1求椭圆的标准方程,常采用“先定位,后定量”的方法(待定系数法)如若不能确定焦点的位置,则两种情况都要考虑,这一点一定要注意,不要遗漏,此时设所求的椭圆方程为一般形式:Ax2By21(A0,B0且AB);若AB,则焦点在x轴上;若AB,则焦点在y轴上2椭圆的定义中一定满足“PF1PF22a,且ac”,用椭圆的定义求解a,b,c有时比用方程简便题型二椭圆的几何性质1椭圆1的离心率是_解析:根据题意知,a3,b2,则c,椭圆的离心率e.答案:2椭圆x2my21的焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m_.解析:由题意可得,
3、,所以m4.答案:43已知圆C1:x22cxy20,圆C2:x22cxy20,椭圆C:1(ab0),若圆C1,C2都在椭圆内,则椭圆离心率的取值范围是_解析:圆C1,C2都在椭圆内等价于圆C2的右顶点(2c,0),上顶点(c,c)在椭圆内部,只需0b0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切,则C的离心率为_解析:以线段A1A2为直径的圆的方程为x2y2a2,由原点到直线bxay2ab0的距离da,得a23b2,所以C的离心率e .答案:临门一脚1弄清楚a,b,c,e的几何意义,以及相关的点坐标、线的方程的表示2求解几何性质之前方程应先化为标准式,否
4、则会混淆a,b.3离心率求解主要是根据几何条件建立关于a,b,c的方程或不等式题型三双曲线的定义及标准方程1F1,F2分别是双曲线C:1的左、右焦点,P为双曲线C右支上一点,且|PF1|8,则PF1F2的周长为_解析:由双曲线的方程可知a3,b,所以c4,则|PF2|PF1|2a2,|F1F2|2c8,据此可知PF1F2的周长为82818.答案:182已知双曲线经过点(2,1),其一条渐近线方程为yx,则该双曲线的标准方程为_解析:设双曲线的方程为y2(0),则12,解得1,故双曲线的标准方程为y21.答案:y213(2018柳州模拟)设双曲线1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交双
5、曲线左支于A,B两点,则|AF2|BF2|的最小值为_解析:|AF2|BF2|2a|AF1|2a|BF1|4a|AB|4a4316.答案:164设双曲线与椭圆1有共同的焦点,且与椭圆相交,其中一个交点的坐标为(,4),则此双曲线的标准方程是_解析:法一:椭圆1的焦点坐标是(0,3),设双曲线方程为1(a0,b0),根据双曲线的定义知2a|4,故a2.又b232a25,故所求双曲线的方程为1.法二:椭圆1的焦点坐标是(0,3)设双曲线方程为1(a0,b0),则a2b29,又点(,4)在双曲线上,所以1,联立解得a24,b25.故所求双曲线的方程为1.法三:设双曲线的方程为1(270)的一条渐近线
6、方程为y2x,则该双曲线的焦距为_解析:由题意得,2,所以a,所以c5,所以该双曲线的焦距为10.答案:103(2018南京高三模拟)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线1(a0,b0)的一个焦点到一条渐近线的距离为2a,则该双曲线的离心率为_解析:由双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为2a得b2a,则该双曲线的离心率e .答案:4已知F是双曲线1(a0,b0)的左焦点,E是该双曲线的右顶点,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围为_解析:由题意得E(a,0),不妨设A,B,显然ABE是等腰三角形,故当ABE是锐角三角形时,AEB90
7、,从而ac,化简得c2ac2a20,即e2e20,解得1e2,又e1,故1e2.答案:(1,2) 临门一脚1双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系,二者之间可以互求根据渐近线方程求离心率时要注意有两解2在解析几何中,解决求范围问题,一般可从以下几个方面考虑:(1)与已知范围联系,通过求函数值域或解不等式来完成;(2)通过一元二次方程的根的判别式的符号建立不等关系;(3)利用点在曲线内部建立不等式关系;(4)利用解析式的结构特点,如a2,|a|,等的非负性来完成范围的求解题型五抛物线1在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y24x上一点P到焦点的距离为3,则点P的横坐标是_解析:因为抛物线方
8、程为y24x,所以焦点F(1,0),准线l的方程为x1,设PAl,A为垂足,所以PFPAxP(1)3,所以点P的横坐标是2.答案:22若点P到直线y1的距离比它到点(0,3)的距离小2,则点P的轨迹方程是_解析:由题意可知点P到直线y3的距离等于它到点(0,3)的距离,故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点,以y3为准线的抛物线,且p6,所以其标准方程为x212y.答案:x212y3一个顶点在原点,另外两点在抛物线y22x上的正三角形的面积为_解析:如图,根据对称性:A,B关于x轴对称,故AOx30.直线OA的方程yx,代入y22x,得x26x0,解得x0或x6.即得A的坐标为(6,2),所以AB
9、4.故正三角形OAB的面积为4612.答案:124在平面直角坐标系xOy中,抛物线y26x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PAl,A为垂足若直线AF的斜率k,则线段PF的长为_解析:抛物线方程为y26x,焦点F,准线l的方程为x.直线AF的斜率为,直线AF的方程为y,当x时,y3,由此可得A点坐标为.PAl,A为垂足,P点纵坐标为3,代入抛物线方程,得P点坐标为,PFPA6.答案:6临门一脚1一次项的变量与焦点所在的坐标轴的名称相同,一次项系数的符号决定抛物线的开口方向,即“对称轴看一次项,符号决定开口方向”2抛物线标准方程形式要记清楚,求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是
10、判断焦点位置和开口方向,在方程的类型已经确定的前提下,由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程3求解几何性质时,首先要把方程化为标准方程,其次抛物线方程的p几何意义要明确B组高考提速练1若双曲线x21的离心率为,则实数m_.解析:由双曲线的标准方程可知a21,b2m,所以a1,c,所以e,解得m2.答案:22在矩形ABCD中,AB4,BC3,则以A,B为焦点,且过C,D两点的椭圆的短轴的长为_解析:依题意得AC5,所以椭圆的焦距为2cAB4,长轴长2aACBC8,所以短轴长为2b224.答案:43抛物线y22px(p0)的准线截圆x2y22y10所得的弦长为2,则p_
11、.解析:抛物线y22px(p0)的准线方程为x,而圆化成标准方程为x2(y1)22,圆心坐标为(0,1),半径为,圆心到准线的距离为,所以21()2,解得p2.答案:24已知P是以F1,F2为焦点的椭圆1(ab0)上的一点,若120,tanPF1F2,则此椭圆的离心率为_解析:因为120,tanPF1F2,所以12,sinPF1F2,cosPF1F2.所以PF1c,PF2c,则PF1PF2c2a,所以e.答案:5(2018苏北四市质检)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线1(a0,b0)的一条渐近线方程为x2y0,则该双曲线的离心率为_解析:由双曲线1(a0,b0)的一条渐近线方程为x2y0,
12、得,则该双曲线的离心率e.答案:6已知椭圆1(ab0)的一个焦点是F(1,0),若椭圆短轴的两个三等分点M,N与F构成正三角形,则此椭圆的方程为_解析:由FMN为正三角形,得cOFMNb1.解得b,a2b2c24.故椭圆的方程为1.答案:17已知双曲线C:y21与直线l:xky40,若直线l与双曲线C的一条渐近线平行,则双曲线C的右焦点到直线l的距离是_解析:由题意得,双曲线C:y21的右焦点F(2,0),其渐近线方程为yx,又直线l:xky40与双曲线C的一条渐近线平行,所以k,所以直线l的方程为xy40,所以双曲线C的右焦点到直线l的距离d3.答案:38(2018镇江高三期末)已知双曲线y21的左焦点与抛物线y212x的焦点重合,则双曲线的右准线方程为_解析:由题意知双曲线y21的左焦点为(3,0),所以a28,因此双曲线的右准线方程为x.答案:x9已知椭圆的中心在原