《2020年高考数学二轮提升专题训练考点18 直线与圆(1)含答案》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2020年高考数学二轮提升专题训练考点18 直线与圆(1)含答案(11页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、考点18 直线与圆(1)【知识框图】【自主热身,归纳总结】1、(2017镇江期末)圆心在直线y4x上,且与直线xy10相切于点P(3,2)的圆的标准方程为_【答案】 (x1)2(y4)28【解析】解法1 设圆心为(a,4a),则有r,解得a1,r2,则圆的方程为(x1)2(y4)28.解法2 过点P(3,2)且垂直于直线xy10的直线方程为xy50,联立方程组解得则圆心坐标为(1,4),半径为r2,故圆的方程为(x1)2(y4)28.2、(2017扬州期末) 已知直线l:xy20与圆C:x2y24交于A,B两点,则弦AB的长度为_. 【答案】2【解析】圆心C(0,0)到直线l的距离d1,由垂径
2、定理得AB222,故弦AB的长度为2.3、(2019苏州期末)在平面直角坐标系xOy中,过点A(1,3),B(4,6),且圆心在直线x2y10上的圆的标准方程为_【答案】(x5)2(y2)217【解析】 由圆心既的线段AB的垂直平分线上,又在直线x2y10上,先求出圆心的坐标线段AB的中点为M,斜率kAB1,所以线段AB的垂直平分线方程为y,即xy7.由得圆心C(5,2),半径rCA,圆C的方程为(x5)2(y2)217. 因为圆的标准方程中有三个待定量,所以只要建立一个含三个方程的方程组设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2,则解得所以圆的方程为(x5)2(y2)217.4、(2018苏州
3、期末)在平面直角坐标系xOy中,已知过点A(2,1)的圆C与直线xy1相切,且圆心在直线y2x上,则圆C的标准方程为_【答案】(x1)2(y2)22【解析】解法1(几何法) 点A(2,1)在直线xy1上,故点A是切点过点A(2,1)与直线xy10垂直的直线方程为xy3,由解得所以圆心C(1,2)又AC,所以圆C的标准方程为(x1)2(y2)22.解法2(方程法) 由圆心在直线y2x上,可设圆心为(a,2a),圆的标准方程为(xa)2(y2a)2r2(r0)要确定两个待定量a,r2的值,只需建立两个含a,r2的等式,建立方程组求解由圆C过点A(2,1),且与直线xy1相切,得即解得所以圆C的标准
4、方程为(x1)2(y2)22.5、(2018镇江期末)已知圆C与圆x2y210x10y0相切于原点,且过点A(0,6),则圆C的标准方程为_【答案】 (x3)2(y3)218【解析】由几何知识可知,圆心C在圆 x2y210x10y0的圆心与原点的连线yx上,又在OA的垂直平分线y3上,所以C(3,3),易得圆C的标准方程为(x3)2(y3)218.6、(2018苏北四市期末)在平面直角坐标系xOy中,若圆C1:x2(y1)2r2(r0)上存在点P,且点P关于直线xy0的对称点Q在圆C2:(x2)2(y1)21上,则r的取值范围是_【答案】1,1【解析】设圆C1上存在点P(x0,y0)满足题意,
5、点P关于直线xy0的对称点Q(y0,x0),则故只需圆x2(y1)2r2与圆(x1)2(y2)21有交点即可,所以|r1|r1,解得1r1.7(2017徐州六市联考)在平面直角坐标系xOy中,过点P(2,0)的直线与圆x2y21相切于点T,与圆(xa)2(y)23相交于点R,S,且PTRS,则正数a的值为_【答案】 4【解析】因为PT与圆x2y21相切于点T,所以在RtOPT中,OT1,OP2,OTP,从而OPT,PT,故直线PT的方程为xy20,因为直线PT截圆(xa)2(y)23得弦长RS,设圆心到直线的距离为d,则d,又2,即d,即|a32|3,解得a8,2,4,因为a0,所以a4.8、
6、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)在平面直角坐标系xOy中,若动圆C上的点都在不等式组,表示的平面区域内,则面积最大的圆C的标准方程为_【答案】 (x1)2y24【解析】首先由线性约束条件作出可行域,面积最大的圆C即为可行域三角形的内切圆(如图),由对称性可知,圆C的圆心在x轴上,设半径为r,则圆心C(3r,0),且它与直线xy30相切,所以r,解得r2,所以面积最大的圆C的标准方程为(x1)2y24.9、(2018盐城三模)定义:点到直线的有向距离为已知点,,直线过点,若圆上存在一点,使得三点到直线的有向距离之和为0,则直线的斜率的取值范围为 【答案】【思路分析】由“三点
7、到直线的有向距离之和为0”知,动点在一条直线上,又因为点在圆上,故问题转化为该直线与圆有公共点,此时圆心到该直线的距离小于等于半径9.解析:设直线的斜率为,则直线的方程为,即,设点,则点三点到直线的有向距离分别为,由得,即,又因为点在圆上,故,即.【问题探究,变式训练】 题型一 圆内三角形的问题知识点拨:圆与三角形相结合的问题,求有关参数,最终要转化为圆心到直线的距离问题,根据题目中隐含的条件挖掘圆心到直线的距离。例1、(2017年苏州期末)已知圆C:(xa)2(ya)21(a0)与直线y3x相交于P,Q两点,则当CPQ的面积最大时,实数a的值为_【答案】【解析】因为CPQ的面积等于sinPC
8、Q,所以当PCQ90时,CPQ的面积最大,此时圆心到直线y3x的距离为,因此,解得a.【变式1】(2016扬州期末) 已知直线l过点P(1,2)且与圆C:x2y22相交于A,B两点,ABC的面积为1,则直线l的方程为_【答案】3x4y50或x1【解析】当直线斜率存在时,设直线的方程为yk(x1)2,即kxyk20.因为SCACBsinACB1,所以sinACB1,所以sinACB1,即sinACB90,所以圆心C到直线AB的距离为1,所以1,解得k,所以直线方程为3x4y50;当直线斜率不存在时,直线方程为x1,经检验符合题意综上所述,直线方程为3x4y50或x1.【变式2】(2017南通、泰
9、州、扬州一调)在平面直角坐标系xOy中,圆C1:(x1)2y22,圆C2:(xm)2(ym)2m2,若圆C2上存在点P满足:过点P向圆C1作两条切线PA,PB,切点为A,B,ABP的面积为1,则正数m的取值范围是_【答案】 【解析】 注意到ABP的面积是定值,从而点P的位置应该具有某种确定性,故首先由ABP的面积来确定点P所满足的条件,进而将问题转化为以C1为圆心的圆与以C2为圆心的圆有公共点的问题来加以处理如图,设P(x,y),设PA,PB的夹角为2.ABP的面积SPA2sin2PA2sincosPA21,即PA3PCPA22,解得PA,所以PC12,所以点P在圆(x1)2y24上所以m2,
10、解得1m32. 本题的本质是两个圆的位置关系问题,要解决这个问题,首先要确定点P所满足的条件,为此,由ABP的面积来确定点P所满足的条件是解决本题的关键所在【变式3】(2018苏州暑假测试)已知点A(1,0)和点B(0,1),若圆x2y24x2yt0上恰有两个不同的点P,使得PAB的面积为,则实数t的取值范围是_【答案】 题设“圆x2y24x2yt0上恰有两个不同的点P,使得PAB的面积为”等价于“圆上有且只有两个点到直线AB的距离为”,进而思考圆心到直线AB的距离在什么范围内符合题意圆x2y24x2yt0的方程可化为(x2)2(y1)25t,设点P到直线AB的距离为h,则SPABh,解得h,
11、而圆心到直线AB的距离为,欲使得圆x2y24x2yt0上恰有两个不同的点P,使得PAB的面积为,则需要圆上有且只有两个点到直线AB的距离为,故圆的半径,解得t.【变式4】(2019苏锡常镇调研(二)过直线l:上任意点P作圆C:的两条切线,切点分别为A,B,当切线最小时,PAB的面积为 【答案】【解析】因为,所以当最小时,切线长最小.的最小值即点到直线的距离,所以,此时为等腰直角三角形,所以的面积【变式5】(2019苏锡常镇调研(一)若直线l:axy4a0上存在相距为2的两个动点A,B,圆O:x2y21上存在点C,使得ABC为等腰直角三角形(C为直角顶点),则实数a的取值范围为_【答案】 【解析
12、】记线段AB的中点为M,因为ABC为等腰直角三角形(C为直角顶点),所以点C在以M为圆心,半径为1的圆上,又因为点C在圆O上,所以圆M和圆O有公共点,即0OM2,故圆心O到直线l的距离d2,解得a,所以实数a的取值范围为.【变式6】(2019通州、海门、启东期末) 在平面直角坐标系xOy中,已知A(0,a),B(3,a4),若圆x2y29上有且仅有四个不同的点C,使得ABC的面积5,则实数a的取值范围是_【答案】【解析】因为A(0,a),B(3,a4),所以AB5,直线AB的方程为yxa,因为SABCABhh5,故h2,因此,问题转化为在圆上存在4个点C,使得它到直线AB的距离为2.因为圆的半径为3,因此,圆心O到直线AB的距离小于1,即:1,解得a0),A(x1,y1),则B(x1,y1),所以xyDx1Ey1F0,xyDx1Ey1F0,由得Dx1Ey10,又xy4,由得F4,所以外接圆方程为x2y2DxEy40.又圆过点(4,0),所以424D40,解得D3,所以圆方程为x2y23xEy40.所以半径R,当E0时,R最小,为,所以ABM的外接圆的面积的最小值为.【关联3】(2016无锡期末)在平面直角坐标系中