《高中数学选修4—4(坐标系与参数方程)知识点总结强列推荐》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学选修4—4(坐标系与参数方程)知识点总结强列推荐（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、坐标系与参数方程知识点 1 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P x y 是平面直角坐标系中的任意一点 在变换 0 0 xx yy 的作用 下 点 P x y 对应到点 Px y 称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 简称伸缩变 换 2 极坐标系的概念 1 极坐标系 如图所示 在平面内取一个定点O 叫做极点 自极点O引一条射 线Ox 叫做极轴 再选定一个长度单位 一个角度单位 通常取弧度 及其正方向 通常取逆 时针方向 这样就建立了一个极坐标系 注 极坐标系以角这一平面图形为几何背景 而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴 为几何背景 平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系 而极坐标系则
2、不可 但极 坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系 2 极坐标 设 M是平面内一点 极点O与点 M的距离 OM 叫做点 M的极径 记为 以极轴Ox为始 边 射线OM为终边的角xOM叫做点 M的极角 记为 有序数对 叫做点 M的极坐 标 记作 M 一般地 不作特殊说明时 我们认为0 可取任意实数 特别地 当点M在极点时 它的极坐标为 0 R 和直角坐标不同 平面内一个 点的极坐标有无数种表示 如果规定0 02 那么除极点外 平面内的点可用唯一的极坐标 表示 同时 极坐标 表示的点也是唯一确定的 3 极坐标和直角坐标的互化 1 互化背景 把直角坐标系的原点作为极点 x轴的正半轴作为极轴 并在两种坐标
3、系 中取相同的长度单位 如图所示 2 互 化 公 式 设M是 坐 标 平 面 内 任 意 一 点 它 的 直 角 坐 标 是 x y 极 坐 标 是 0 于是极坐标与直角坐标的互化公式如表 点M直角坐标 x y极坐标 互化公式 cos sin x y 222 tan 0 xy y x x 在一般情况下 由tan确定角时 可根据点M所在的象限最小正角 4 常见曲线的极坐标方程 曲线图形极坐标方程 圆心在极点 半径 为r的圆 02 r 圆心为 0 r 半径 为r的圆 2 cos 22 r 圆 心 为 2 r 半 径为r的圆 2 sin 0 r 过极点 倾斜角为 的直线 1 RR或 2 0 0 和
4、过点 0 a 与极轴 垂直的直线 cos 22 a 过 点 2 a 与 极 轴平行的直线 sin 0 a 注 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一 即 2 都表示同一点的坐标 这与点的直角坐标的 唯一性明显不同 所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式 只要求至少有一个能满足 极 坐 标 方 程 即 可 例 如 对 于 极 坐 标 方 程 点 44 M 可 以 表 示 为 5 2 2 444444 或或 等多种形式 其中 只有 44 的极坐标满足方 程 二 参数方程 1 参数方程的概念 一般地 在平面直角坐标系中 如果曲线上任意一点的坐标 x y都是某个变数t的函数 xf t yg t 并且对
5、于t的每一个允许值 由方程组 所确定的点 Mx y都在这条曲线上 那么方程 就叫做这条曲线的参数方程 联系变数 x y的变数t叫做参变数 简称参数 相对 于参数方程而言 直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程 2 参数方程和普通方程的互化 1 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式 一般地可以通过消去参数而从 参数方程得到普通方程 2 如果知道变数 x y中的一个与参数t的关系 例如 xf t 把它代入普通方程 求 出另一个变数与参数的关系 yg t 那么 xf t yg t 就是曲线的参数方程 在参数方程与 普通方程的互化中 必须使 x y的取值范围保持一致 注 普通方程化为参数方程
6、 参数方程的形式不一定唯一 应用参数方程解轨迹问题 关键在于适当地设参数 如果选用的参数不同 那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同 3 圆的参数 如图所示 设圆O的半径为 r 点M 从初始位置 0 M出发 按逆时针方向在圆O上作 匀速圆周运动 设 M x y 则 cos sin xr yr 为参数 这就是圆心在原点O 半径为 r的圆的参数方程 其中 的几何意义是 0 OM转过的角 度 圆心为 a b 半径为r的圆的普通方程是 222 xaybr 它的参数方程为 cos sin xar ybr 为参数 4 椭圆的参数方程 以坐标原点O为中心 焦点在x轴上的椭圆的标准方程为 22 22 1 0
7、xy ab ab 其参 数方程为 cos sin xa yb 为参数 其中参数称为离心角 焦点在y轴上的椭圆的标准方 程是 22 22 1 0 yx ab ab 其参数方程为 cos sin xb ya 为参数 其中参数仍为离心 角 通常规定参数的范围为 0 2 注 椭圆的参数方程中 参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角 要把它和这一 点的旋转角区分开来 除了在四个顶点处 离心角和旋转角数值可相等外 即在0到2 的范围内 在其他任何一点 两个角的数值都不相等 但当0 2 时 相应地也有 0 2 在其他象限内类似 5 双曲线的参数方程 以坐标原点O为中心 焦点在x轴上的双曲线的标准议程为 22
8、22 1 0 0 xy ab ab 其参数方程为 sec tan xa yb 为参数 其中 3 0 2 22 且 焦 点 在y轴 上 的 双 曲 线 的 标 准 方 程 是 22 22 1 0 0 yx ab ab 其 参 数 方 程 为 cot 0 2 csc xb e ya 为参数 其中且 以上参数都是双曲线上任意一点的离心角 6 抛物线的参数方程 以 坐 标 原 点 为 顶 点 开 口 向 右 的 抛 物 线 2 2 0 ypx p的 参 数 方 程 为 2 2 2 xpt t ypt 为参数 7 直线的参数方程 经过点 000 Mxy 倾斜角为 2 的直线l的普通方程是 00 tan yyxx 而过 000 Mxy 倾斜角为的直线l的参数方程为 0 0 cos sin xxt yyt t为参数 注 直线参数方程中参数的几何意义 过定点 000 Mxy 倾斜角为的直线l的参数 方程为 0 0 cos sin xxt yyt t为参数 其中t表示直线l上以定点 0 M为起点 任一点 M x y为终点的有向线段 0 M M的数量 当点M在 0 M上方时 t 0 当点M在 0 M下 方时 t 0 当点M与 0 M重合时 t 0 我们也可以把参数t理解为以 0 M为原点 直 线l向上的方向为正方向的数轴上的点M的坐标 其单位长度与原直角坐标系中的单位长 度相同
