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1、【文库独家】2、分式方程及其应用 【知识精读】 1. 解分式方程的基本思想:把分式方程转化为整式方程。 2. 解分式方程的一般步骤: (1)在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化成整式方程; (2)解这个整式方程; (3)验根:把整式方程的根代入最简公分母,看结果是否等于零,使最简公分母等于零的根是原方程的增根,必须舍去,但对于含有字母系数的分式方程,一般不要求检验。 3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同,但必须注意,要检验求得的解是否为原方程的根,以及是否符合题意。 下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。【分类解析】 例1. 解方程: 分析:首先要
2、确定各分式分母的最简公分母,在方程两边乘这个公分母时不要漏乘,解完后记着要验根 解:方程两边都乘以,得 例2. 解方程 分析:直接去分母,可能出现高次方程,给求解造成困难,观察四个分式的分母发现的值相差1,而分子也有这个特点,因此,可将分母的值相差1的两个分式结合,然后再通分,把原方程两边化为分子相等的两个分式,利用分式的等值性质求值。 解:原方程变形为: 方程两边通分,得 经检验:原方程的根是 例3. 解方程: 分析:方程中的每个分式都相当于一个假分数,因此,可化为一个整数与一个简单的分数式之和。 解:由原方程得: 即 例4. 解方程: 分析:此题若用一般解法,则计算量较大。当把分子、分母分
3、解因式后,会发现分子与分母有相同的因式,于是可先约分。 解:原方程变形为: 约分,得 方程两边都乘以 注:分式方程命题中一般渗透不等式,恒等变形,因式分解等知识。因此要学会根据方程结构特点,用特殊方法解分式方程。5、中考题解: 例1若解分式方程产生增根,则m的值是( ) A. B. C. D. 分析:分式方程产生的增根,是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是:化简原方程为:把代入解得,故选择D。 例2. 甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动,已知乙班每小时比甲班多种2棵树,甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等,求甲、乙两班每小时各种多少棵树? 分析:利用所用时间相等这一等量关系
4、列出方程。 解:设甲班每小时种x棵树,则乙班每小时种(x+2)棵树, 由题意得: 答:甲班每小时种树20棵,乙班每小时种树22棵。 说明:在解分式方程应用题时一定要检验方程的根。6、题型展示: 例1. 轮船在一次航行中顺流航行80千米,逆流航行42千米,共用了7小时;在另一次航行中,用相同的时间,顺流航行40千米,逆流航行70千米。求这艘轮船在静水中的速度和水流速度 分析:在航行问题中的等量关系是“船实际速度=水速+静水速度”,有顺水、逆水,取水速正、负值,两次航行提供了两个等量关系。 解:设船在静水中的速度为x千米/小时,水流速度为y千米/小时 由题意,得 答:水流速度为3千米/小时,船在静
5、水中的速度为17千米/小时。 例2. m为何值时,关于x的方程会产生增根? 解:方程两边都乘以,得 整理,得 说明:分式方程的增根,一定是使最简公分母为零的根【实战模拟】 1. 甲、乙两地相距S千米,某人从甲地出发,以v千米/小时的速度步行,走了a小时后改乘汽车,又过b小时到达乙地,则汽车的速度( ) A. B. C. D. 2. 如果关于x的方程 A. B. C. D. 3 3. 解方程:4. 求x为何值时,代数式的值等于2? 5. 甲、乙两个工程队共同完成一项工程,乙队先单独做1天后,再由两队合作2天就完成了全部工程。已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的,求甲、乙两队单独
6、完成各需多少天?【试题答案】 1. 由已知,此人步行的路程为av千米,所以乘车的路程为千米。 又已知乘车的时间为b小时,故汽车的速度为 2. 把方程两边都乘以 若方程有增根,则 3. (1)分析:方程左边很特殊,从第二项起各分式的分母为两因式之积,两因式的值都相差1,且相邻两项的分母中都有相同的因式。因此,可利用裂项,即用“互为相反数的和为0”将原方程化简 解:原方程可变为 (2)分析:用因式分解(提公因式法)简化解法 解: 因为其中的 经检验:是原方程的根。 4. 解:由已知得 的值等于2。 5. 设:乙队单独完成所需天数x天,则甲队单独完成需天。 由题意,得 经检验 答:甲、乙两队单独完成分别需4天,6天。