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1、高中数学必修 1 知识点 第一章集合与函数概念 1 1 1 集合的含义与表示 1 集合的概念 集合中的元素具有确定性 互异性和无序性 2 常用数集及其记法 N表示自然数集 N或N 表示正整数集 Z表示整数集 Q表示有理数集 R表示实数集 3 集合与元素间的关系 对象a与集合 M 的关系是 aM 或者a M 两者必居其一 4 集合的表示法 自然语言法 用文字叙述的形式来描述集合 列举法 把集合中的元素一一列举出来 写在大括号内表示集合 描述法 x x具有的性质 其中x为集合的代表元素 图示法 用数轴或韦恩图来表示集合 5 集合的分类 含有有限个元素的集合叫做有限集 含有无限个元素的集合叫做无限集
2、 不含有任何元素的集合 叫做空集 1 1 2 集合间的基本关系 6 子集 真子集 集合相等 名称记号意义性质示意图 子集 BA 或 AB A 中的任一元素都属 于 B 1 AA 2 A 3 若BA且BC 则AC 4 若BA且BA 则A B A B 或 BA 真子集 AB 或 B A BA 且 B 中至 少有一元素不属于A 1 A A 为非空子集 2 若AB且BC 则AC BA 集合 相等 AB A 中的任一元素都属 于 B B 中的任一元素 都属于 A 1 AB 2 BA A B 7 已知集合A有 1 n n个元素 则它有2 n 个子集 它有21 n 个真子集 它有21 n 个非空子集 它有2
3、 2 n 非空真子集 1 1 3 集合的基本运算 8 交集 并集 补集 名称记号意义性质示意图 交集 AB x xA且 xB 1 A AA 2 A 3 ABA ABB BA 并集 AB x xA或 xB 1 AAA 2 A A 3 A BA ABB B A 补集 UA e x xUxA且 1 U AAe 2 U AAUe 补充知识 含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 1 含绝对值的不等式的解法 不等式解集 0 xa a xaxa 0 xa a x xa或 xa 0 axbc axbc c 把axb看 成 一 个 整 体 化 成 xa 0 xa a型不等式来求解 2 一元二次不等式的解法 判
4、别式 2 4bac 000 二次函数 2 0 yaxbxc a 的图象 O 一元二次方程 2 0 0 axbxca 的根 2 1 2 4 2 bbac x a 其中 12 xx 12 2 b xx a 无实根 2 0 0 axbxca 的解集 1 x xx或 2 xx x 2 b x a R 2 0 0 axbxca 的解集 12 x xxx 1 2 函数及其表示 UUU ABAB痧 UUU ABAB痧 1 2 1 函数的概念 1 函数的概念 设 A B是两个非空的数集 如果按照某种对应法则 f 对于集合 A中任何一个数x 在集合B 中都有唯一确定的数 f x 和它对应 那么这样的对应 包括集
5、合 A B以及A到B的对应法则f 叫做集合 A到B的一个函数 记作 fAB 函数的三要素 定义域 值域和对应法则 只有定义域相同 且对应法则也相同的两个函数才是同一函数 2 区间的概念及表示法 设 a b是两个实数 且ab 满足axb的实数x的集合叫做闭区间 记做 a b 满足 axb的实数x的集合叫做开区间 记做 a b 满足axb 或axb的实数x的 集合叫做半开半闭区间 分别记做 a b a b 满足 xa xa xb xb的实数x的集 合分别记做 aabb 注意 对于集合 x axb与区间 a b 前者a可以大于或等于 b 而后者必须 ab 3 求函数的定义域时 一般遵循以下原则 f
6、x是整式时 定义域是全体实数 f x是分式函数时 定义域是使分母不为零的一切实数 f x 是偶次根式时 定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合 对数函数的真数大于零 当对数或指数函数的底数中含变量时 底数须大于零且不等于1 tanyx中 2 xkkZ 零 负 指数幂的底数不能为零 若 f x是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时 则其定义域一般是各基本初等函数 的定义域的交集 对于求复合函数定义域问题 一般步骤是 若已知 f x 的定义域为 a b 其复合函数 f g x 的定义域应由不等式 ag xb解出 对于含字母参数的函数 求其定义域 根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论
7、由实际问题确定的函数 其定义域除使函数有意义外 还要符合问题的实际意义 4 求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的 事实上 如果在函数的值域中存在一个 最小 大 数 这个数就是函数的最小 大 值 因此求函数的最值与值域 其实质是相同的 只是 提问的角度不同 求函数值域与最值的常用方法 观察法 对于比较简单的函数 我们可以通过观察直接得到值域或最值 配方法 将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和 然后根据变量的取值范围确定函数的 值域或最值 判别式法 若函数 yf x 可以化成一个系数含有 y的关于x的二次方程 2 0a y xb y xc y 则在 0a
8、 y时 由于 x y为实数 故必须有 2 4 0bya yc y 从而确定函数的值域或最值 不等式法 利用基本不等式确定函数的值域或最值 换元法 通过变量代换达到化繁为简 化难为易的目的 三角代换可将代数函数的最值问题转化为 三角函数的最值问题 反函数法 利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值 数形结合法 利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值 函数的单调性法 1 2 2 函数的表示法 5 函数的表示方法 表示函数的方法 常用的有解析法 列表法 图象法三种 解析法 就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 列表法 就是列出表格来表示两个变量之间 的对应关系 图象
9、法 就是用图象表示两个变量之间的对应关系 6 映射的概念 设 A B是两个集合 如果按照某种对应法则f 对于集合 A中任何一个元素 在集合B中都 有唯一的元素和它对应 那么这样的对应 包括集合 A B以及A到B的对应法则f 叫做集合 A 到B的映射 记作 fAB 给定一个集合A到集合B的映射 且 aA bB 如果元素a和元素b对应 那么我们把元素 b叫做元素a的象 元素a叫做元素b的原象 1 3 函数的基本性质 1 3 1 单调性与最大 小 值 1 函数的单调性 定义及判定方法 函数的 性 质 定义图象判定方法 y xo 函数的 单调性 如果对于属于定义域I内某 个区间上的任意两个自变量 的值
10、 x1 x2 当 x 1 x 2 时 都 有 f x 1 f x 2 那 么 就 说 f x 在这个区间上是 增函数 x1x2 y f X x y f x 1 f x 2 o 1 利用定义 2 利用已知函数的 单调性 3 利用函数图象 在 某个区间图 象上升为增 4 利用复合函数 如果对于属于定义域I内某 个区间上的任意两个自变量 的值 x1 x2 当 x 1 f x 2 那 么 就 说 f x 在这个区间上是 减函数 y f X y x o xx2 f x f x 2 1 1 1 利用定义 2 利用已知函数的 单调性 3 利用函数图象 在 某个区间图 象下降为减 4 利用复合函数 在公共定义
11、域内 两个增函数的和是增函数 两个减函数的和是减函数 增函数减去一个减函数为 增函数 减函数减去一个增函数为减函数 对 于 复 合 函 数 yf g x 令 ug x 若 yf u 为 增 ug x 为 增 则 yf g x为增 若 yf u为减 ug x为减 则 yf g x为增 若 yf u为 增 ug x为 减 则 yf g x为 减 若 yf u为 减 ug x为 增 则 yf g x为减 2 打 函数 0 a f xxa x 的图象与性质 f x分别在 a a上为增函数 分别在 0 a 0 a上为减函数 3 最大 小 值定义 一般地 设函数 yf x的定义域为 I 如果存在实数 M
12、满足 1 对于任意的 xI 都有 f xM 2 存在 0 xI 使得 0 f xM 那么 我们称M是函数 f x的最大值 记作 max fxM 一般地 设函数 yf x 的定义域为 I 如果存在实数m满足 1 对于任意的 xI 都有 f xm 2 存在 0 xI 使得 0 fxm 那么 我们称m是函数 f x的最小值 记作 max fxm 1 3 2 奇偶性 4 函数的奇偶性 定义及判定方法 函数的 性 质 定义图象判定方法 函数的 奇偶性 如果对于函数f x 定义域内 任意一个x 都有f x f x 那么函数 f x 叫做 奇函 数 1 利用定义 要先 判断定义域是否关于 原点对称 2 利用
13、图象 图象 关于原点对称 如果对于函数f x 定义域内 任意一个 x 都有 f x f x 那么函数 f x 叫做 偶函数 1 利用定义 要先 判断定义域是否关于 原点对称 2 利用图象 图象 关于 y 轴对称 若函数 f x 为奇函数 且在0 x处有定义 则 0 0f 奇函数在 y轴两侧相对称的区间增减性相同 偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反 在公共定义域内 两个偶函数 或奇函数 的和 或差 仍是偶函数 或奇函数 两个偶函数 或 奇函数 的积 或商 是偶函数 一个偶函数与一个奇函数的积 或商 是奇函数 补充知识 函数的图象 1 作图 利用描点法作图 确定函数的定义域 化解函数解析式 讨
14、论函数的性质 奇偶性 单调性 画出函数的图象 利用基本函数图象的变换作图 要准确记忆一次函数 二次函数 反比例函数 指数函数 对数函数 幂函数 三角函数等各种基本 初等函数的图象 平移变换 0 0 hh hh yf xyf xh 左移 个单位 右移 个单位 0 0 kk kk yf xyf xk 上移 个单位 下移 个单位 伸缩变换 01 1 yf xyfx 伸 缩 01 1 A A yf xyAfx 缩 伸 对称变换 x yf xyf x 轴 y yf xyfx 轴 yf xyfx 原点1 y x yf xyfx 直线 y yy yf xyfx 去掉 轴左边图象 保留 轴右边图象 并作其关于
15、轴对称图象 x x yf xyf x 保留 轴上方图象 将 轴下方图象翻折上去 2 识图 对于给定函数的图象 要能从图象的左右 上下分别范围 变化趋势 对称性等方面研究函数的定义 域 值域 单调性 奇偶性 注意图象与函数解析式中参数的关系 3 用图 函数图象形象地显示了函数的性质 为研究数量关系问题提供了 形 的直观性 它是探求解题途径 获得问题结果的重要工具 要重视数形结合解题的思想方法 第二章基本初等函数 2 1 指数函数 2 1 1 指数与指数幂的运算 1 根式的概念 如果 1 n xa aR xR n 且nN 那么x叫做a的n次方根 当n是奇数时 a的n次方根用符号 n a表示 当n是
16、偶数时 正数a的正的n次方根用符号 n a表示 负的n次方 根用符号 n a表示 0 的n次方根是 0 负数a没有n次方根 式子 n a叫做根式 这里n叫做根指数 a叫做被开方数 当n为奇数时 a为任意实数 当 n为偶数时 0a 根 式 的 性 质 nn aa 当n为 奇 数 时 nn aa 当n为 偶 数 时 0 0 nn aa aa aa 2 分数指数幂的概念 正数的正分数指数幂的意义是 0 m nm n aaam nN且1 n 0 的正分数指数 幂等于 0 正数的负分数指数幂的意义是 11 0 mm m nn n aam nN aa 且1 n 0 的负分数指数幂没有意义 注意口诀 底数取倒数 指数取相反数 3 分数指数幂的运算性质 0 rsrs aaaar sR 0 rsrs aaar sR 0 0 rrr aba babrR 2 1 2 指数函数及其性质 4 指数函数 函数名称指数函数 定义 函数 0 x yaa且1 a叫做指数函数 图象 1a01a 定义域 R 值域 0 过定点图象过定点 0 1 即当0 x 时 1y 奇偶性非奇非偶 单调性在R上是增函数在R上是减函数 函数值
