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1、 7 3基本不等式及不等式的应用 高考文数 课标专用 答案C依题意知a 0 b 0 则 2 当且仅当 即b 2a时 成立 因为 所以 即ab 2 所以ab的最小值为2 故选C 2 2014福建 9 5分 要制作一个容积为4m3 高为1m的无盖长方体容器 已知该容器的底面造价是每平方米20元 侧面造价是每平方米10元 则该容器的最低总造价是 A 80元B 120元C 160元D 240元 答案C设底面矩形的长和宽分别为am bm 则ab 4 容器的总造价为20ab 2 a b 10 80 20 a b 元 80 20 a b 80 40 160 当且仅当a b时等号成立 故选C 3 2014重庆
2、 9 5分 若log4 3a 4b log2 则a b的最小值是 A 6 2B 7 2C 6 4D 7 4 答案D由log4 3a 4b log2 得3a 4b ab 且a 0 b 0 a 由a 0 得b 3 a b b b b 3 7 2 7 4 7 即a b的最小值为7 4 4 2018天津 13 5分 已知a b R 且a 3b 6 0 则2a 的最小值为 易错警示利用基本不等式求最值应注意的问题 1 利用基本不等式求最值的前提是 一正 二定 三相等 这三个条件缺一不可 2 在运用基本不等式时 要特别注意 拆 拼 凑 等技巧 使其满足基本不等式中 正 定 等 的条件 5 2018江苏 1
3、3 5分 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c ABC 120 ABC的平分线交AC于点D 且BD 1 则4a c的最小值为 一题多解1作DE CB交AB于E BD为 ABC的平分线 DE CB 1 2 1 ac a c 1 4a c 4a c 5 9 当且仅当 即a c 3时取 一题多解2以B为原点 BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系 则D 1 0 AB c BC a A C A D C三点共线 c 0 ac a c 1 4a c 4a c 5 9 当且仅当 即a c 3时取 6 2017山东 12 5分 若直线 1 a 0 b 0 过点 1 2 则2a b的最小值
4、为 7 2017江苏 10 5分 某公司一年购买某种货物600吨 每次购买x吨 运费为6万元 次 一年的总存储费用为4x万元 要使一年的总运费与总存储费用之和最小 则x的值是 8 2015山东 14 5分 定义运算 x y x y R xy 0 当x 0 y 0时 x y 2y x的最小值为 9 2015重庆 14 5分 设a b 0 a b 5 则 的最大值为 1 2014浙江 16 4分 已知实数a b c满足a b c 0 a2 b2 c2 1 则a的最大值是 教师专用题组 2 2014辽宁 16 5分 对于c 0 当非零实数a b满足4a2 2ab b2 c 0且使 2a b 最大时
5、的最小值为 3 2014湖北 16 5分 某项研究表明 在考虑行车安全的情况下 某路段车流量F 单位时间内经过测量点的车辆数 单位 辆 小时 与车流速度v 假设车辆以相同速度v行驶 单位 米 秒 平均车长l 单位 米 的值有关 其公式为F 1 如果不限定车型 l 6 05 则最大车流量为辆 小时 2 如果限定车型 l 5 则最大车流量比 1 中的最大车流量增加辆 小时 答案 1 1900 2 100 解析 1 当l 6 05时 F F 1900 当且仅当v 即v 11时取 最大车流量F为1900辆 小时 2 当l 5时 F F 2000 当且仅当v 即v 10时取 最大车流量比 1 中的最大车
6、流量增加2000 1900 100辆 小时 评析本题考查了函数最值的求法及均值不等式的应用 考点基本不等式及其应用1 2018山西第一次模拟 5 若P为圆x2 y2 1上的一个动点 且A 1 0 B 1 0 则 PA PB 的最大值为 A 2B 2C 4D 4 三年模拟 A组2016 2018年高考模拟 基础题组 答案B由题意知 APB 90 PA 2 PB 2 4 2 当且仅当 PA PB 时取等号 PA PB 2 PA PB 的最大值为2 故选B 2 2018江西吉安一中 九江一中等八所重点中学4月联考 5 已知正项等比数列 an 的公比为3 若aman 9 则 的最小值等于 A 1B C
7、 D 答案C 正项等比数列 an 的公比为3 且aman 9 a2 3m 2 a2 3n 2 3m n 4 9 32 m n 6 又m n N m n 当且仅当m 2n 即m 4 n 2时取等号 故选C 3 2018山东高三天成第二次联考 7 若a 0 b 0且2a b 4 则的最小值为 A 2B C 4D 答案B因为a 0 b 0 故2a b 2 当且仅当2a b时取等号 又因为2a b 4 2 4 0 ab 2 故的最小值为 故选B 4 2016安徽合肥二模 4 若a b都是正数 则的最小值为 A 7B 8C 9D 10 答案C a b都是正数 5 5 2 9 当且仅当b 2a 0时取等号
8、 故选C 5 2017河南平顶山一模 6 若对于任意的x 0 不等式 a恒成立 则实数a的取值范围为 A a B a C a D a 答案A由x 0 得 当且仅当x 1时 等号成立 则a 故选A 6 2017广东广雅中学 江西南昌二中联考 10 已知x 0 y 0 lg2x lg8y lg2 则 的最小值是 A 2B 2C 4D 2 答案C lg2x lg8y lg2 lg 2x 8y lg2 2x 3y 2 x 3y 1 x 0 y 0 x 3y 2 2 2 4 当且仅当x 3y 时取等号 所以 的最小值为4 故选C 7 2016安徽安庆二模 6 已知a 0 b 0 a b 则 的最小值为
9、A 4B 2C 8D 16 答案B由a 0 b 0 a b 得ab 1 则 2 2 当且仅当 即a b 时等号成立 故选B 思路分析由已知等式通分变形可得ab 1 然后直接利用基本不等式求最值即可 8 2018山东聊城一模 15 已知a 0 b 0 3a b 2ab 则a b的最小值为 B组2016 2018年高考模拟 综合题组 时间 30分钟分值 50分 一 选择题 每小题5分 共25分 1 2018江西师范大学附属中学4月月考 11 若向量m a 1 2 n 4 b 且m n a 0 b 0 则loa log3有 A 最大值log3B 最小值log32C 最大值 loD 最小值0 答案B由
10、m n 得m n 0 即4 a 1 2b 0 2a b 2 2 2 ab 当且仅当2a b时 等号成立 而loa log3 loa lob loab lo log32 即loa log3有最小值log32 故选B 2 2018河南普通高中毕业班4月高考适应性考试 12 定义域为 a b 的函数y f x 的图象的两个端点分别为A a f a B b f b M x y 是f x 图象上任意一点 其中x a 1 b 0 1 向量 若不等式 k恒成立 则称函数f x 在 a b 上为 k函数 若函数y x 在 1 2 上为 k函数 则实数k的取值范围是 A 0 B C 1 D 答案B若 k恒成立
11、则 max k 因为向量 0 1 所以N在线段AB上 由函数y x x 1 2 可得A 1 2 B 直线AB的方程为y x 3 由M x y 是f x 图象上任意一点 其中x a 1 b 0 1 向量 可得xN a 1 b x 所以 yM yN 2 且 即 的最大值为 k 故选B 3 2017广东深圳三校联考 9 已知f x x N 则f x 在定义域上的最小值为 A B C D 2 答案Bf x x x N 0 x 2 2 当且仅当x 时取等号 但x N 故x 5或x 6时 f x 取最小值 当x 5时 f x 当x 6时 f x 故f x 在定义域上的最小值为 故选B 4 2017河南许昌
12、二模 8 已知x y均为正实数 且 则x y的最小值为 A 24B 32C 20D 28 答案C x y均为正实数 且 则x y x 2 y 2 4 6 x 2 y 2 4 6 4 6 4 20 当且仅当x y 10时取等号 x y的最小值为20 故选C 方法总结本题根据条件构造x y x 2 y 2 4 然后乘 6 变形 即可形成所需应用基本不等式的条件 5 2017河北衡水中学第三次调研 9 已知a b 二次三项式ax2 2x b 0对于一切实数x恒成立 又 x0 R a 2x0 b 0成立 则的最小值为 A 1B C 2D 2 答案D因为二次三项式ax2 2x b 0对于一切实数x恒成立
13、 所以又 x0 R a 2x0 b 0成立 所以4 4ab 0 故4 4ab 0 即ab 1 又因为a 0 a b 所以 a b a b 2 当且仅当a b 时等号成立 故选D 二 填空题 每小题5分 共25分 6 2018天津十二所重点中学毕业班联考 13 已知a b R 且a是2 b与 3b的等差中项 则的最大值为 7 2018河南八校第一次测评 15 已知等差数列 an 中 a3 7 a9 19 Sn为数列 an 的前n项和 则的最小值为 8 2018天津滨海新区七所重点学校联考 13 若正实数x y满足x 2y 5 则 的最大值是 解题关键将题中的式子进行整理 将x 1看作一个整体 然
14、后应用基本不等式求最值 解决该题的关键是需要对式子进行化简 转化 利用整体思想 同时满足 一正 二定 三相等 9 2017湖北新联考四模 15 已知函数f x 若f a f b 0 a b 则 取得最小值时 f a b 关键点拨根据函数的性质可得ab 1 再根据基本不等式得到 取得最小值时a b的值 再代值计算即可 10 2017江西南昌二模 16 网店和实体店各有利弊 两者的结合将在未来一段时期内 成为商业的一个主要发展方向 某品牌行车记录仪支架销售公司从2017年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式 根据几个月运营发现 产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x 3 已知网店每月固定的各种费用支出为3万元 产品每1万件进货价格为32万元 若每件产品的售价定为 进货价的150 与 平均每件产品的实体店体验安装费用的一半 之和 则该公司最大月利润是万元
