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1、数学建模基础知识讲座 何志新 机械工程学院 hzx741687828 实物模型 原型 原型是指人们在现实世界里关心 研 究或者从事生产 管理的实际对象 模型 模型是为了一定目的 对客观事物的 一部分特征 属性 而进行简化 抽 象 提炼出来的原型的替代物 把原型尺寸按比例缩小或放大供展览 或玩耍的实物 它主要追求外观的逼 真 例如 玩具飞机 昆虫标本 建 筑模型等 数学模型与数学建模 模型集中反映了原型中人们们需要的那一部分特征 物理模型 符号模型 是为测试原型的物理及动力学特性 根据相似性原理对原型构造的模型 它主要追求物理性能的一致 例如 航模飞机 实验模型等 是在一些约定或假设下 借助于专
2、 门的符号 线条等 按一定形式组 合起来对原型的描述 它主要追求 框架结构与关系的关联特征 例如 分子结构图 电路图 地图等 数学模型 是为了一定的目的 根据原型内在 的规律和本质属性 通过必要的简 化假设 运用适当的数学工具 而 作的抽象 简化的数学结构 数学模型是一种抽象的模拟 它用符号 式子 程序 图形等数学语言刻划客观事物的 本质属性与内在联系 是现实世界的简化而又 本质的描述 数学模型的三个主要功能是 解释 判 断与预测 也就是数学模型能用来解释某些 客观现象及发生的原因 数学模型能用来判 断原来知识 认识的可靠性 数学模型能用 来预测事物未来的发展规律 或为控制某一 现象的发展提供
3、某种意义下的最优策略或较 好策略 为人们的行为提供指导 数学建模建立数学模型的全过程 包括问 题的表述 求解 解释 检验 等 数学建模是利用数学方法解决实际问题的 一种实践 即通过抽象 简化 假设 引进变 量等处理过程后 将实际问题用数学方式表达 建立起数学模型 然后运用先进的数学方法 及计算机技术进行求解并接受实际的检验 数学建模其实并不是什么新东西 可以说 有了数学并需要用数学去解决实际问题 就一 定要用数学的语言 方法去近似地刻划该实际 问题 这种刻划的数学表述的就是一个数学模 型 其过程就是数学建模的过程 数学模型一 经提出 就要用一定的技术手段 计算 证明 等 来求解并验证 其中大量
4、的计算往往是必 不可少的 高性能的计算机的出现使数学建模 这一方法如虎添翼似的得到了飞速的发展 掀 起一个高潮 1 要想在科学上甚至日常工作中获得巨 大成功 数学 尤其是数学建模的作用是至 关重要的 提高数学素质的极端重要性 从 现在开始 后继课程 毕业设计或毕业论 文 甚至参加工作后 要逐渐培养凡事用 数学 数学建模 的眼光来审视 思索的良 好习惯 打水漂 复利的应用等 参加具体的数学建模实践活动 特别是数 学建模竞赛 是一种良好的开端 学习数学建模的意义 2 各行各业大量用数学的现象是必然的 趋势 但是只懂数学是不行的 必须与专门 领域的知识和洞察相结合 3 过去 学生反映 学校里学过的数
5、学到了 工作岗位用不上 不能直接用上 的部分原 因是不了解纯粹数学知识到真正的实际应 用之间必须经过数学建模这个桥梁 从现 在开始 在学习数学的时候就要加强这方 面的意识 对每个大学生来说具有良好的数学基础和 应用数学去解决实际问题的能力 我们可 以统称为具有良好的数学素质 是今后个 人 集体 事业成果的关键 大学生学好数学 打下坚实的数学基础对 于今后做任何工作都会有帮助 数学建模过程数学建模过程 现实对象的信 息 数学模型的 解答 现实对象的 解答 数学模型 表述 归纳 求解 演绎 解释 验证 现实对象与数学模型的关系 数学模型的分数学模型的分 类类 分类标准分类标准具体类别具体类别 对某
6、个实际问题 了解的深入程度 白箱模型 灰箱模型 黑箱模型 模型中变量的特 征 连续型模型 离散型模型或确定性 模型 随机型模型等 建模中所用的数 学方法 初等模型 微分方程模型 差分方 程模型 优化模型等 研究课题的实际 范畴 人口模型 生 态系统模型 交通 流模型 经 济模型 基因模型等 数模常用软件 vmatlab mathematica vlingo lindo vspss sas vExcel vWord 统一版本 vMathType 5 0 统一版本 vCAJViewer 6 0 v超星阅览器 v绘图软件 Visio 几何画板 v有的时候c c VB等很实用的工具 观察 分析实际问题
7、 作出合理的假设 明 确变量和参数 形成明确的数学问题 不仅 仅是翻译的问题 涉及的数学问题可能是 复杂 困难的 求解也许涉及深刻的数学 方法 如何作出正确的判断 寻找合适 简 洁的 解析或近似 解法 如何验证模型 简言之 合理假设 数学问题 解释验证 记住这12个字 将会终生受用 数学建模的难点 参加数学建模竞赛要注意的问题 二 充分重视竞赛论文的质量 1 评定参赛队的成绩好坏 高低 获奖级别 竞 赛论文是唯一依据 2 答卷是竞赛活动的成绩结晶的书面形式 3 写好答卷的训练 是科技写作的一种基本训练 三 论文评选标准 1 假设的合理性 2 建模的创造性 3 结果的合理性 4 表述的清晰程度
8、四 数学建模竞赛论文写作规范 1 论文摘要在评奖中很重要 1 论文摘要应在400字左右 2 摘要应包括 a 数学模型的归类 在数学上属于什么类型 b 所用的数学知识 建模的思想 算法思想 模 型及算法特点 c 主要结果 数值结果 结论 回答题目所 问的全部 问题 3 摘要表述要准确 简明 条理清晰 合乎语 法 字体工整漂亮 2 问题的重述 将原问题表达清楚 如果问题表述很长 数据很多 可以简捷的描述 3 问题的分析 4 模型假设 1 根据题目中条件作出假设 2 根据题目中要求作出假设 3 关键性假设不能缺 假设要切合题意 合理 5 符号说明 要注意整篇文章符号一致 建立数学模型应注意以下几点
9、1 分清变量类型 恰当使用数学工具 2 抓住问题本质 简化变量之间的关系 3 建立数学模型时要有严密的数学推理 4 用数学方法建模 模型要明确 要有数学表 达式 7 模型求解 1 重要结论需要建立数学命题时 命题叙述要 符合数学命题的表述规范 尽可能论证严密 2 需要说明计算方法或算法的原理 思想 依 据 步骤 若采用现有软件 说明采用此软件的理由 软件名称 3 计算过程 中间结果可要可不要的 不要列出 4 最终数值结果的正确性或合理性是第一位的 设 法算出合理的数值结果 5 题目中要求回答的问题 数值结果 结论 须 一一列出 6 结果表示 要集中 一目了然 直观 便于 比较分析及评委查找 7
10、 数值结果表示 精心设计表格 可能的话 用 图形表示更好 8 结果分析 验证 模型检验及修正 1 对数值结果或模拟结果要进行必要的检验 若 结果不正确 不合理 或误差大时 要分析原因 对 算法 计算方法 或模型进行修正 改进 2 必要时 要对模型进行稳定性分析 统计检验 误差分析 要对不同模型进行对比及实际可行性检验 9 模型评价 1 优点突出 缺点不回避 2 推广或改进方向 10 参考文献 参考文献要书写规范 可参考专业学术杂志 11 附录 1 计算程序 详细的结果 详细的数据表格 可 在此列出 但不要错 错的宁可不列 2 主要结果数据 应在正文中列出 不怕重复 五 检查论文主要把握三点 1
11、 模型的正确性 合理性 创新性 数学建模的创新可体现在 建模中 模型本身 简化的好方法 好策略等 模型求解中 结果表示 分析 检验 模型检验 推广部分 2 结果的正确性 合理性 3 文字表述清晰 分析精辟 摘要精彩 七 数学建模理念 1 应用意识 要解决实际问题 结果 结论要符合实际 模 型 方法 结果要易于理解 便于实际应用 站在应 用者的立场上想问题 处理问题 2 数学建模 用数学方法解决问题 要有数学模型 问题模 型的数学抽象 方法有普适性 科学性 不局限于 本具体问题的解决 3 创新意识 建模有特点 更加合理 科学 有效 符合实际 更有普遍应用意义 不单纯为创新而创新 八 几种创造性思
12、维方法 在数学建模过程中 发挥创造性思维是必不可少 的 这些思维方法有许多共同的性质 比如 不轻易否定别人的意见 怀疑一般常识 努力发现别人尚未察觉的事物等 下面介绍几种创造性思维方法 1 小组群体思维 1 在建模中队员之间要相互平等 相互尊重 的充分交流 各自发挥自己的特长 敢于发表自己 的意见和想法 三个臭皮匠低个诸葛亮 2 必须注意一些 交流忌语 1 武断的评价 轻易使用 这绝对不行 这根本行不通 这类语句 不仅会刺伤同伴的自尊心 还往往会起到束缚自己思 路的作用 要注意学会倾听 要让对方把话讲完 稍 加思考再发表自己的看法 2 回避责任 遇到问题的第一反应便是 怎么办呢 这是只能依 靠
13、别人时所使用的语言 而 我想这样做 你看怎么样 这种自己也承担一部分责任的态度是必要的 如不 然 对问题的观察和分析 对工作的适应能力就会变 得越来越迟钝 3 无可奈何 没办法 说这句话只是为了回避问题 不仅使 自己的能力充分发挥出来 而且还会压抑人们对问题 的深入观察 思考和实际行动的能力 4 对交流失去信心 很难听懂他说的什么 他简直无动于衷 这 也反应出一种对待问题的消极态度 2 发散性思维方法 1 发散性思维是发明创造的一个有力的武器 2 特别是遇到难题时 最好不要有什么想法就沿 一条胡同钻下去 应把自己的思路尽量展开 去寻求 最佳的方案 如 1 这问题和什么问题相似 2 假如变动某些
14、部分将会怎样 3 如果分解成两部分将会怎样 4 重新组合又会怎样 5 放大或缩小又会怎样 6 极限情况如何 7 抓住问题的关键词联想 法 3 从整体上把握问题的方法 将思路充分展开之后 就可以登高一步 努力把 握问题的全貌 这种能力极为重要 没有这种能力就 会 只见树木 不见森林 经常陷于问题的某个局部 而不能自拔 把握住问题的全貌的一个非常有效的 途径是去研究问题的结构 九 队员的合作是取胜的关键 1 根据数学建模竞赛章程 三人组成一队 这三 人中必须一人数学基础较好 一人应用数学软件 如 Matlab lindo maple等 和编程 如c Matlab vc 等 的能力较强 一人科技论文
15、写作的水平较好 科技论 文的写作要求整篇论文的结构严谨 语言要有逻辑性 用词要准确 2 三人之间要能够配合得起来 若三人之间配合 不好 会降低效率 导致整个建模的失败 3 如果可能的话 最好是数学好的懂得编程的一 些知识 编程好的了解建模 搞论文写作也要了解建 模 这样会合作得更好 因为数学好的在建立模型方 案时会考虑到编程的便利性 以利于编程 编程好的能够很好地理解模型 论文写作的 能够更好 更完全地阐述模型 否则会出现建 立的模型不利于编程 程序不能完全概括模型 论文写作时会漏掉一些不经意的东西 4 在合作的过程中 最好是能够在三人中 找出一个优秀的组长 即要能够总揽全局 包 括任务的分配
16、 相互间的合作和进度的安排 5 在建模过程中出现意见不统一 如何 处理 仅我个人的经验而言 除了一般的理解 与尊重外 我觉得最重要的一点就是 给我一 个相信你的理由 和 相信我 我的理由是 不要作无谓的争论 数学建模的常用算法 1 蒙特卡罗算法 该算法又称随机性模拟算法 是通过计算机仿真来解决问题的算法 同时通过模 拟可以来检验自己模型的正确性 2 数据拟合 参数估计 插值等数据处理算法 比赛中通常会遇到大量的数据需要处理 而处理数据的 关键就在于这些算法 通常使用Matlab作为工具 3 线性规划 整数规划 多元规划 二次规划等 规划类问题 建模竞赛大多数问题属于最优化问题 很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述 通常 使用Lindo Lingo MATLAB软件实现 4 图论算法 这类算法可以分为很多种 包括最 短路 网络流 二分图等算法 涉及到图论的问题可 以用这些方法解决 需要认真准备 5 动态规划 回溯搜索 分治算法 分支定界等 计算机算法 这些算法是算法设计中比较常用的方法 很多场合可以用到竞赛中 6 最优化理论的三大非经典算法 模拟退火法 神经网络 遗传算法 这些问题是