《高考数学（人教B理）一轮复习课件：第六章 数列 第2节 .ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学（人教B理）一轮复习课件：第六章 数列 第2节 .ppt（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2节等差数列及其前n项和 最新考纲1 理解等差数列的概念 2 掌握等差数列的通项公式与前n项和公式 3 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系 并能用等差数列的有关知识解决相应的问题 4 了解等差数列与一次函数的关系 1 等差数列的概念 1 如果一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的差都等于 那么这个数列就叫做等差数列 数学语言表达式 an 1 an d n N d为常数 知识梳理 同一个常数 2 如果三个数x A y组成等差数列 那么A叫做x和y的等差中项 2 等差数列的通项公式与前n项和公式 1 若等差数列 an 的首项是a1 公差是d 则其通项公式为an 通项公式的推广 an am
2、m n N 2 等差数列的前n项和公式 a1 n 1 d n m d 3 等差数列的有关性质已知数列 an 是等差数列 Sn是 an 的前n项和 1 若m n p q m n p q N 则有am an ap aq 2 若 an 是等差数列 公差为d 则ak ak m ak 2m k m N 是公差为 的等差数列 3 数列Sm S2m Sm S3m S2m 也是等差数列 4 数列 an 是等差数列 Sn An2 Bn A B为常数 4 等差数列的前n项和的最值在等差数列 an 中 a1 0 d 0 则Sn存在最 值 若a1 0 d 0 则Sn存在最 值 md 大 小 常用结论与微点提醒 1 已
3、知数列 an 的通项公式是an pn q 其中p q为常数 则数列 an 一定是等差数列 且公差为p 2 用定义法证明等差数列应注意 从第2项起 如证明了an 1 an d n 2 时 应注意验证a2 a1是否等于d 若a2 a1 d 则数列 an 不为等差数列 3 等差数列 an 的单调性 当d 0时 an 是递增数列 当d 0时 an 是递减数列 当d 0时 an 是常数列 1 思考辨析 在括号内打 或 1 数列 an 为等差数列的充要条件是对任意n N 都有2an 1 an an 2 2 等差数列 an 的单调性是由公差d决定的 3 数列 an 为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次
4、函数 4 等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数 解析 3 若公差d 0 则通项公式不是n的一次函数 4 若公差d 0 则前n项和不是二次函数 答案 1 2 3 4 诊断自测 2 在等差数列 an 中 若a2 4 a4 2 则a6等于 A 1B 0C 1D 6解析由等差数列的性质 得a6 2a4 a2 2 2 4 0 答案B 3 2016 全国 卷 已知等差数列 an 前9项的和为27 a10 8 则a100 A 100B 99C 98D 97 答案C 4 在等差数列 an 中 a1 7 公差为d 前n项和为Sn 当且仅当n 8时Sn取得最大值 则d的取值范围为 5 教材习题改编 在等差
5、数列 an 中 若a3 a4 a5 a6 a7 450 则a2 a8 解析由等差数列的性质 得a3 a4 a5 a6 a7 5a5 450 a5 90 a2 a8 2a5 180 答案180 考点一等差数列基本量的运算 2 设 an 的公差为d 首项为a1 解得d 4 答案 1 C 2 C 规律方法1 等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1 an d n Sn 知其中三个就能求另外两个 体现了用方程的思想来解决问题 2 数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用 而a1和d是等差数列的两个基本量 用它们表示已知和未知是常用方法 2 法一设数列 an 的首项为a1 公差为d
6、答案 1 B 2 30 法二由 an 为等差数列 故可设前n项和Sn An2 Bn 1 证明当n 2时 由an 2SnSn 1 0 迁移探究1 本例条件不变 判断数列 an 是否为等差数列 并说明理由 解因为an Sn Sn 1 n 2 an 2SnSn 1 0 所以Sn Sn 1 2SnSn 1 0 n 2 所以当n 2时 an 1 an的值不是一个与n无关的常数 故数列 an 不是一个等差数列 1 证明当n 2时 an Sn Sn 1且Sn Sn an 2an 0 Sn Sn Sn Sn 1 2 Sn Sn 1 0 即SnSn 1 2 Sn Sn 1 0 当n 1时 a1 2不适合上式 规
7、律方法等差数列的证明方法 1 定义法 对于n 2的任意自然数 验证an an 1为同一常数 2 等差中项法 验证2an 1 an an 2 n 3 n N 都成立 考点三等差数列的性质及应用 例3 1 2018 沈阳质检 等差数列 an 的前n项和为Sn 且a3 a9 16 则S11 A 88B 48C 96D 176 2 设等差数列 an 的前n项和为Sn 若S3 9 S6 36 则a7 a8 a9等于 A 63B 45C 36D 27 2 由 an 是等差数列 得S3 S6 S3 S9 S6为等差数列 即2 S6 S3 S3 S9 S6 得到S9 S6 2S6 3S3 45 答案 1 A
8、2 B 规律方法等差数列的常用性质和结论 1 在等差数列 an 中 若m n p q 2k m n p q k N 则am an ap aq 2ak 2 在等差数列 an 中 数列Sm S2m Sm S3m S2m也成等差数列 解析 1 因为a1 a2 a3 34 an 2 an 1 an 146 a1 a2 a3 an 2 an 1 an 34 146 180 又因为a1 an a2 an 1 a3 an 2 所以3 a1 an 180 从而a1 an 60 2 因为 an bn 为等差数列 考点四等差数列前n项和及其最值 例4 1 一题多解 等差数列 an 的前n项和为Sn 已知a1 13
9、 S3 S11 当Sn最大时 n的值是 A 5B 6C 7D 8 2 设数列 an 的通项公式为an 2n 10 n N 则 a1 a2 a15 解析 1 法一由S3 S11 得a4 a5 a11 0 根据等差数列的性质 可得a7 a8 0 根据首项等于13可推知这个数列递减 从而得到a7 0 a8 0 故n 7时Sn最大 法二由S3 S11 可得3a1 3d 11a1 55d 把a1 13代入 得d 2 故Sn 13n n n 1 n2 14n 根据二次函数的性质 知当n 7时Sn最大 2 由an 2n 10 n N 知 an 是以 8为首项 2为公差的等差数列 又由an 2n 10 0得n
10、 5 n 5时 an 0 当n 5时 an 0 a1 a2 a15 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a15 20 110 130 答案 1 C 2 130 规律方法求等差数列前n项和的最值 常用的方法 1 利用等差数列的单调性 求出其正负转折项 2 利用性质求出其正负转折项 便可求得和的最值 3 将等差数列的前n项和Sn An2 Bn A B为常数 看作二次函数 根据二次函数的性质求最值 训练3 1 设数列 an 是公差d 0的等差数列 Sn为其前n项和 若S6 5a1 10d 则Sn取最大值时 n的值为 A 5B 6C 5或6D 11 2 已知等差数列 an 的首项a1 20 公差d 2 则前n项和Sn的最大值为 解析 1 由题意得S6 6a1 15d 5a1 10d 所以a6 0 故当n 5或6时 Sn最大 2 因为等差数列 an 的首项a1 20 公差d 2 又因为n N 所以n 10或n 11时 Sn取得最大值 最大值为110 答案 1 C 2 110
