《高考数学课标（理）题型专项练课件：4.2.1等差、等比数列与数列的通项及求和 .pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学课标（理）题型专项练课件：4.2.1等差、等比数列与数列的通项及求和 .pptx（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4 2数列大题 2 3 4 5 1 求通项公式的常见类型 1 已知an与Sn的关系或Sn与n的关系 利用公式 2 等差数列 等比数列求通项或转化为等差 比 数列求通项 3 由递推关系式求数列的通项公式 形如an 1 an f n 利用累加法求通项 形如an 1 anf n 利用累乘法求通项 6 2 数列求和的常用方法 1 公式法 利用等差数列 等比数列的求和公式 2 错位相减法 适合求数列 an bn 的前n项和Sn 其中 an bn 一个是等差数列 另一个是等比数列 3 裂项相消法 即将数列的通项分成两个式子的代数和 通过累加抵消中间若干项的方法 4 拆项分组法 先把数列的每一项拆成两项 或
2、多项 再重新组合成两个 或多个 简单的数列 最后分别求和 5 并项求和法 把数列的两项 或多项 组合在一起 重新构成一个数列再求和 适用于正负相间排列的数列求和 3 数列单调性的常见题型及方法 1 求最大 小 项时 可利用 数列的单调性 函数的单调性 导数 2 求参数范围时 可利用 作差法 同号递推法 先猜后证法 7 4 数列不等式问题的解决方法 1 利用数列 或函数 的单调性 2 放缩法 先求和后放缩 先放缩后求和 包括放缩后成等差 或等比 数列再求和 或者放缩后裂项相消再求和 4 2 1等差 等比数列与数列的通项及求和 9 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 等差 等比数列的通项及求和
3、例1 2018全国 理17 记Sn为等差数列 an 的前n项和 已知a1 7 S3 15 1 求 an 的通项公式 2 求Sn 并求Sn的最小值 解 1 设 an 的公差为d 由题意得3a1 3d 15 由a1 7得d 2 所以 an 的通项公式为an 2n 9 2 由 1 得Sn n2 8n n 4 2 16 所以当n 4时 Sn取得最小值 最小值为 16 解题心得对于等差 等比数列 求其通项及前n项和时 只需利用等差数列或等比数列的通项公式及求和公式求解即可 10 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 对点训练1已知等差数列 an 的公差不为零 a1 25 且a1 a11 a13成等比数
4、列 1 求 an 的通项公式 2 求a1 a4 a7 a3n 2 解 1 设 an 的公差为d 即 a1 10d 2 a1 a1 12d 于是d 2a1 25d 0 又a1 25 所以d 0 舍去 或d 2 故an 2n 27 2 令Sn a1 a4 a7 a3n 2 由 1 知a3n 2 6n 31 故 a3n 2 是首项为25 公差为 6的等差数列 11 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 可转化为等差 等比数列的问题例2已知等比数列 an 的前n项和为Sn a1 3 且3S1 2S2 S3成等差数列 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn log3an 求Tn b1b2 b2b3
5、b3b4 b4b5 b2n 1b2n b2nb2n 1 解 1 3S1 2S2 S3成等差数列 4S2 3S1 S3 4 a1 a2 3a1 a1 a2 a3 即a3 3a2 公比q 3 an a1qn 1 3n 12 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 解题心得无论是求数列的通项还是求数列的前n项和 通过变形 整理后 能够把数列转化为等差数列或等比数列 进而利用等差数列或等比数列的通项公式或求和公式解决问题 2 由 1 知 bn log3an log33n n b2n 1b2n b2nb2n 1 2n 1 2n 2n 2n 1 4n Tn b1b2 b2b3 b3b4 b4b5 b2n
6、1b2n b2nb2n 1 13 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 对点训练2设 an 是公比大于1的等比数列 Sn为数列 an 的前n项和 已知S3 7 且a1 3 3a2 a3 4构成等差数列 1 求数列 an 的通项公式 14 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 解 1 由已知得 15 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 2 由 1 得a3n 1 23n bn ln23n 3nln2 bn 1 bn 3ln2 数列 bn 为等差数列 16 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 求数列的通项及错位相减求和例3已知 an 为等差数列 前n项和为Sn n N bn 是首项为2的
7、等比数列 且公比大于0 b2 b3 12 b3 a4 2a1 S11 11b4 1 求 an 和 bn 的通项公式 2 求数列 a2nb2n 1 的前n项和 n N 17 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 解 1 设等差数列 an 的公差为d 等比数列 bn 的公比为q 由已知b2 b3 12 得b1 q q2 12 而b1 2 所以q2 q 6 0 又因为q 0 解得q 2 所以 bn 2n 由b3 a4 2a1 可得3d a1 8 由S11 11b4 可得a1 5d 16 联立 解得a1 1 d 3 由此可得an 3n 2 所以 数列 an 的通项公式为an 3n 2 数列 bn 的
8、通项公式为bn 2n 18 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 2 设数列 a2nb2n 1 的前n项和为Tn 由a2n 6n 2 b2n 1 2 4n 1 有a2nb2n 1 3n 1 4n 故Tn 2 4 5 42 8 43 3n 1 4n 4Tn 2 42 5 43 8 44 3n 4 4n 3n 1 4n 1 上述两式相减 得 3Tn 2 4 3 42 3 43 3 4n 3n 1 4n 1 19 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 解题心得求数列通项的基本方法是利用等差 等比数列通项公式 或通过变形转换成等差 等比数列求通项 如果数列 an 与数列 bn 分别是等差数列和等比
9、数列 那么数列 an bn 的前n项和采用错位相减法来求 20 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 对点训练3 2018浙江 20 已知等比数列 an 的公比q 1 且a3 a4 a5 28 a4 2是a3 a5的等差中项 数列 bn 满足b1 1 数列 bn 1 bn an 的前n项和为2n2 n 1 求q的值 2 求数列 bn 的通项公式 解 1 由a4 2是a3 a5的等差中项 得a3 a5 2a4 4 所以a3 a4 a5 3a4 4 28 解得a4 8 21 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 2 设cn bn 1 bn an 数列 cn 前n项和为Sn 22 考向一 考向二
10、 考向三 考向四 考向五 23 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 求数列的通项及裂项求和例4已知数列 an 的前n项和为Sn 且对任意正整数n 都有3an 2Sn 3成立 1 求数列 an 的通项公式 解 1 在3an 2Sn 3中 取n 1 得a1 3 且3an 1 2Sn 1 3 两式相减 得3an 1 3an 2an 1 an 1 3an a1 0 数列 an 是以3为公比的等比数列 an 3 3n 1 3n 24 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 2 由 1 得bn log3an n 解题心得对于已知等式中含有an Sn的求数列通项的题目 一般有两种解题思路 一是消去Sn得
11、到f an 0 求出an 二是消去an得到g Sn 0 求出Sn 再求an 把数列的通项拆成两项之差 求和时中间的项能够抵消 从而求得其和 注意抵消后所剩余的项一般前后对称 25 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 对点训练4Sn为数列 an 的前n项和 已知an 0 2an 4Sn 3 1 求 an 的通项公式 所以 an 是首项为3 公差为2的等差数列 通项公式为an 2n 1 26 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 2 由an 2n 1可知 设数列 bn 的前n项和为Tn 则Tn b1 b2 bn 27 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 涉及奇偶数讨论的数列求和例5已知等
12、差数列 an 的前n项和为Sn 且a1 2 S5 30 数列 bn 的前n项和为Tn 且Tn 2n 1 1 求数列 an bn 的通项公式 2 设cn 1 n anbn lnSn 求数列 cn 的前n项和 对数列 bn 当n 1时 b1 T1 21 1 1 当n 2时 bn Tn Tn 1 2n 2n 1 2n 1 当n 1时也满足上式 bn 2n 1 28 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 2 cn 1 n anbn lnSn 1 nanbn 1 nlnSn lnSn lnn n 1 lnn ln n 1 而 1 nanbn 1 n 2n 2n 1 n 2 n 设数列 1 nanbn
13、的前n项和为An 数列 1 nlnSn 的前n项和为Bn 则An 1 2 1 2 2 2 3 2 3 n 2 n 则 2An 1 2 2 2 2 3 3 2 4 n 2 n 1 得3An 1 2 1 2 2 2 3 2 n n 2 n 1 29 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 当n为偶数时 Bn ln1 ln2 ln2 ln3 ln3 ln4 lnn ln n 1 ln n 1 ln1 ln n 1 当n为奇数时 Bn ln1 ln2 ln2 ln3 ln3 ln4 lnn ln n 1 ln n 1 ln1 ln n 1 由以上可知 Bn 1 nln n 1 30 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 对点训练5已知函数f x 4x 4 f a1 f a2 f an 2n 3 n N 成等比数列 1 求数列 an 的通项公式 解 1 4 f a1 f a2 f an 2n 3成等比数列 其公比设为q 2n 3 4 qn 2 1 解得q 2 31 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五
